Міністерство освіти і науки України
ФАКУЛЬТЕТ ІНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА ІНФОРМАЦІЙНИХ УПРАВЛЯЮЧИХ СИСТЕМ ТА ТЕХНОЛОГІЙ
Реєстраційний №________
Дата ___________________
КУРСОВА РОБОТА
Тема:
Знаходження власних значень лінійного оператора
Рекомендована до захисту
“____” __________ 2008р.
Робота захищена
“____” __________ 2008р.
з оцінкою
_____________________
Підписи членів комісії
Зміст
Вступ
Теоретична частина
1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів
2. Матриця лінійного оператора
3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора
Практична частина
1. Опис програми
2. Текст програми
3. Контрольний приклад
Висновок
Список літератури
Вступ
Власні значення грають при вивченні лінійних операторів дуже велику роль.
Нехай в дійсному лінійному просторі 
задан лінійний оператор 
. Якщо вектор 
, відмінний від нуля, переводиться оператором у вектор, пропорційний самому ,
$IMAGE6$,
де $IMAGE7$– деяке дійсне число, то вектор називається власним вектором оператора , а число $IMAGE7$– власним значенням цього оператора, причому, власний вектор відноситься до власного значення $IMAGE7$.
Обертання евклідової площини навколо початку координат на кут, що не являється кратним $IMAGE13$, є прикладом лінійного оператора, що не має власних векторів. Прикладом іншого випадку є розтягнення площини, при якому всі вектори, що виходять з початку координат, причому всі нульові вектори площини будуть для нього власними; всі вони відносяться до власного значення 5.
Теоретична частина
1. Означення і найпростіші властивості лінійних операторів
В теорії лінійних просторів та її застосування важливу роль відіграють лінійні оператори, які інакше називають лінійними перетвореннями.
Нехай $IMAGE14$– деякий векторний простір над полем $IMAGE15$.
Означення 1. Вважають, що у векторному просторі $IMAGE14$ задано оператор, якщо вказано правило (закон), за яким кожному вектору $IMAGE17$ простору $IMAGE14$ ставиться у відповідність деякий вектор $IMAGE19$ цього ж простору. Про цьому вектор $IMAGE19$ називають образом вектора $IMAGE17$, а $IMAGE17$ називають прообразом вектора $IMAGE19$.
Як бачимо, оператор у векторному просторі $IMAGE14$ – це функція, множиною відправлення і множиною прибуття якої є простір $IMAGE14$.
Означення 2. Оператор $IMAGE26$ у векторному просторі $IMAGE14$ називається лінійним, якщо він задовольняє такі умови:
$IMAGE28$
$IMAGE29$
Лінійні оператори в просторі $IMAGE14$ називають також лінійним перетворенням простору $IMAGE14$.
З означення 2 випливають безпосередньо такі властивості лінійних операторів:
1. Будь-який лінійний оператор $IMAGE26$ у просторі $IMAGE14$ залишає нерухомим нульовий вектор $IMAGE34$ цього простору, тобто $IMAGE35$.
2. Всякий лінійний оператор $IMAGE26$ у просторі $IMAGE14$ протилежному вектору – $IMAGE17$будь-якого вектора $IMAGE17$, ставить у відповідність вектор, протилежний образу вектора $IMAGE17$, тобто $IMAGE41$.
3. Кожен лінійний оператор $IMAGE26$ у просторі $IMAGE14$ будь-який лінійний комбінації довільно вибраних векторів $IMAGE44$ простору $IMAGE14$ ставить у відповідність лінійну комбінацію (з тими самими коефіцієнтами) образів цих векторів, тобто $IMAGE46$.
2. Матриця лінійного оператора
Нехай $IMAGE26$– деякий лінійний оператор у просторі $IMAGE48$. Виберемо в $IMAGE48$ який-небудь базис $IMAGE50$. Оператор $IMAGE26$ відображає вектори цього базису в деякі вектори $IMAGE52$. Кожен вектор $IMAGE53$ єдиним способом лінійно виражається через вектори базису $IMAGE50$. Припустимо, що
$IMAGE55$
Складемо з коефіціентів $IMAGE56$ матрицю $IMAGE57$. Рядками матриці $IMAGE26$ є координатні рядки векторів $IMAGE59$в базисі $IMAGE50$. Оскльки координатні рядки векторів $IMAGE61$ визначені однозначно, то й матриця $IMAGE26$ визначається оператором $IMAGE26$ в базисі $IMAGE50$.
Будемо вважати, що в базисі $IMAGE50$ лінійний оператор $IMAGE26$ задається матрицею $IMAGE26$.
Отже, при зафіксованому базисі $IMAGE50$ кожному лінійному оператору $IMAGE26$ простору $IMAGE48$ відповідає певна квадратна матриця $IMAGE71$-го порядку – матриця цього оператора.
3. Власні вектори й власні значення лінійного оператора
Означення 1. Підпростір $IMAGE72$ лінійного простору $IMAGE14$ називається інваріантним відносно оператора $IMAGE26$, якщо $IMAGE75$, тобто якщо образ $IMAGE76$ будь-якого вектора $IMAGE17$ із $IMAGE72$ міститься в $IMAGE72$.
Нехай $IMAGE80$–одновимірний підпростір простору $IMAGE14$, а $IMAGE26$–деякий лінійний оператор цього простору. Підпростір $IMAGE80$, як відомо, породжується будь-яким своїм вектором $IMAGE84$, тобто є сукупністю всіх векторів виду $IMAGE85$, де $IMAGE86$– будь яке число з поля Р. Якщо підпростір $IMAGE80$ інваріантний відносно оператора $IMAGE26$, то $IMAGE89$, тобто $IMAGE90$, де $IMAGE91$–деяке число з поля Р. Тоді й для будь-якого вектора $IMAGE17$підпростору $IMAGE80$ $IMAGE94$, бо $IMAGE95$, і тому $IMAGE96$.
Означення 2. Вектор $IMAGE84$, що заддовільняє співвідношення $IMAGE98$, де $IMAGE99$ називається власним вектором оператора $IMAGE26$, а число $IMAGE7$ – власним значенням оператора $IMAGE26$, що відповідає власному вектору $IMAGE103$.
Отже, якщо одглвимірний підпростір $IMAGE80$ простору $IMAGE14$ інваріантний відносно лінійного оператора $IMAGE26$, то всі вектори цього підпростору є власними векторами оператора $IMAGE26$ з тим самим власним значенням оператора $IMAGE26$.
Практична частина
1. Опис програми
n – вимірність матриці;
m – максимальне допустиме число ітерацій;
e – точність;
a – на вході – двовимірний масив елементів матриці А, на виході матриця А блочно-діагональна, причому блоки розміри 1х1 містять дійсні власні значення, блоки розміру 2х2 містять комплексні власні значення, записані в стовпцях (рядках) для правих (лівих) власних векторів;
t – двовимірний масив власних векторів А;
b – цілочислова змінна.
Лінійний оператор потрібно задати за допомогою матриці.
2. Текст програми
uses crt;
const dim=10;
type ar=array[1..dim,1..dim]of real;
var ff:text;
i100,j100,n100,b,m:integer;
e:real;
a,t:ar;
procedure eigen(n,m:integer;e:real;var a,t:ar;var b:integer);
var c,c1,c2,co,ch,d,e1,f,g,h,p,r,s,s1,s2,si,sh,x,y:real;
i,j,k,n1,q:integer;
u,v,w,z:boolean;
function zn(x:real):integer;
begin if x<0 then zn:=-1 else zn:=1; end;
begin
u:=false;v:=u;w:=u;n1:=n-1;e1:=sqrt(e);
if b<>0 then
begin
if b<0 then v:=true else w:=true;
for i:=1 to n do
for j:=1 to n do
if i=j then t[i,j]:=1 else t[i,j]:=0;
end;
for q:=1 to m do
begin
if u then begin b:=1-q; exit; end;
i:=1; z:=false;
repeat
j:=i+1;
repeat
if(abs(a[i,j]+a[j,i])>e1) or
(abs(a[i,j]-a[j,i])>e1) and
(abs(a[i,i]-a[j,j])>e1) then z:=true;
j:=j+1;
until (j>n) or z;
i:=i+1;
until (i>n1) or z;
if not z then begin b:=q-1; exit; end;
u:=true;
for k:=1 to n1 do
for j:=k+1 to n do
begin
h:=0; g:=0; f:=0; y:=0;
for i:=1 to n do
begin
x:=sqr(a[i,k]);d:=sqr(a[i,j]); y:=y+x-d;
if (i<>k) and (i<>j) then
begin
h:=h+a[k,i]*a[j,i]-a[i,k]*a[i,j];
p:=x+sqr(a[j,i]); r:=d+sqr(a[k,i]);
g:=g+p+r; f:=f-p+r;
end;
end;
h:=2*h; d:=a[k,k]-a[j,j];
p:=a[k,j]+a[j,k]; r:=a[k,j]-a[j,k];
if abs(p)<=e then begin c:=1; s:=0; end
else
begin
x:=d/p; c:=x+zn(x)*sqrt(1+x*x);
s:=zn(x)/sqrt(1+c*c); c:=s*c;
end;
if y<0 then begin x:=c; c:=s; s:=-x; end;
co:=c*c-s*s; si:=2*s*c; d:=d*co+p*si;
h:=h*co-f*si; x:=(r*d-h/2)/(g+2*(r*r+d*d));
if abs(x)<=e
then begin ch:=1; sh:=0; end
else begin ch:=1/sqrt(1-x*x); sh:=ch*x; end;
c1:=ch*c-sh*s; c2:=ch*c+sh*s;
s1:=ch*s+sh*c; s2:=-ch*s+sh*c;
if (abs(s1)>e)or(abs(s2)>e) then
begin
u:=false;
for i:=1 to n do
begin
p:=a[k,i];a[k,i]:=c1*p+s1*a[j,i];
a[j,i]:=s2*p+c2*a[j,i];
if v then
begin
p:=t[k,i]; t[k,i]:=c1*p+s1*t[j,i];
t[j,i]:=s2*p+c2*t[j,i];
end;
end;
for i:=1 to n do
begin
p:=a[i,k];a[i,k]:=c2*p-s2*a[i,j];
a[i,j]:=-s1*p+c1*a[i,j];
if w then
begin
p:=t[i,k];t[i,k]:=c2*p-s2*t[i,j];
t[i,j]:=-s1*p+c1*t[i,j];
end;
end;
end;
end;
end;
b:=m;
end;
begin clrscr;
write('введите максимальное количество итераций');read(m);
write('введите точность');read(e);
assign(ff,'vlasn.dat');
reset(ff);
read(ff,n100);
for i100:=1 to n100 do
for j100:=1 to n100 do
read(ff,a[i100,j100]);
b:=0;
eigen(n100,m,e,a,t,b);
for i100:=1 to n100 do begin
for j100:=1 to n100 do
write(a[i100,j100],' ');
writeln; end;
writeln;
writeln(b);
readkey;
end.
3. Контрольний приклад
При e=10-8 і m=50 для матриці
$IMAGE109$
за 7 ітерацій знайдено власні значення
$IMAGE110$
Тобо отримали такі власні значення $IMAGE111$, $IMAGE112$, $IMAGE113$
$IMAGE114$
Висновок
Таким чином, задача знаходження інваріантних відносно оператора $IMAGE26$ одновимірних підпросторів простору $IMAGE14$ рівнозначна задачі згаходження власних векторів оператора $IMAGE26$.
Список літератури
1. А. Г. Курош «Курс высшей алгебры», «Наука», Москва 1975
2. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том 1,«Высшая школа», Киев 1974
3. С. Т. Завало, В. М. Костарчук, Б. И. Хацет «Алгебра и теория чисел», Том 2,«Высшая школа», Киев 1976