Рассмотрим две задачи Циолковского: прямолинейное дви­жение точки переменной массы под действием только одной реактивной силы и вертикальное движение точки вблизи Земли в однородном поле силы тяжести. Эти задачи впервые рассматривались К. Э. Циолковским.

Первая задача Циолковского

Пусть точка переменной массы или ракета движется прямолинейно в таком называемом, по терминологии Циолков­ского, свободном пространстве под действием только одной реактивной силы. Считаем, что относительная скорость , отделения частиц постоянна и направлена в сторону, противо­положную скорости  движения точки переменной массы (рис. 1). Тогда, проецируя на ось Ох, направленную по скорости движения точки, дифференциальное уравнение прямо­линейного движения точки переменной массы принимает вид

.

Разделяя переменные и беря интегралы от обеих частей, имеем

Рис. 1

,

где $IMAGE6$— начальная скорость, направленная по реактивной силе; $IMAGE7$—начальная масса точки.

Выполняя интегрирование, получаем

$IMAGE8$.                                                                                                     (14)

Если в формулу (14) подставить значения величин, характеризующих конец горения, когда масса точки (ракеты) состоит только из массы несгоревшей части (массы приборов и корпуса ракеты) $IMAGE9$, то, обозначая через т массу топлива, для скорости движения v₁ в конце горения имеем

$IMAGE10$.

Вводя ч и с л о Ц и о л к о в с к о г о Z==m/M_p, получаем сле­дующую формулу Циолковского:

$IMAGE11$.                                                                                                (15)

Из формулы Циолковского следует, что скорость в конце горения не зависит от закона горения, т. е. закона изменения массы. Скорость в конце горения можно увеличить двумя путями. Одним из этих путей является увеличение относитель­ной скорости отделения частиц $IMAGE12$ или для ракеты увеличения скорости истечения газа из сопла реактивного двигателя.

Современные химические топлива позволяют получать ско­рости истечения газа из сопла реактивного двигателя порядка 2...2,3 км/с. Создание ионного и фотонного двигателей позво­лит значительно увеличить эту скорость. Другой путь увеличе­ния скорости ракеты в конце горения связан с увеличением так называемой массовой, или весовой, отдачи ракеты, т. е. с увеличением числа Z, что достигается рациональной конструк­цией ракеты. Можно значительно увеличить массовую отдачу ракеты М₀/М_р путем применения м н о г о с т у п е н ч а т о й раке­ты, у которой после израсходования топлива первой ступени отбрасываются баки и двигатели от оставшейся части ракеты. Так происходит со всеми баками и двигателями уже отработав­ших ступеней ракеты. Это значительно повышает число Циолковского для каждой последующей ступени, так как уменьшается М_р за счет отброшенных масс баков и двигателей.

Для определения уравнения движения точки переменной массы из (14) имеем

$IMAGE13$,

или, выполняя интегрирование после разделения переменных и считая х=0 при t=0, получаем

$IMAGE14$.                                                                                              (16)

В теоретических работах по ракетодинамике обычно рас­сматривают два закона изменения массы: линейный и по­казательный. При линейном законе масса точки с течением времени изменяется так:

M=M₀ (1-at),                                                                                                          (17)

где a=const (a—удельный расход), а М₀—масса точки в начальный момент времени.

При показательном законе изменение массы

$IMAGE15$.                                                                                                           (18)

Выполняя интегрирование в (16) при линейном законе изменения массы (17), получаем следующее уравнение движения:

$IMAGE16$.                                                                         (19)

При показательном законе изменения массы (18) соответ­ственно

$IMAGE17$.                                                                                                        (20)

Отметим, что при линейном законе изменения массы (17), если $IMAGE12$=const, секундный расход массы

(- dM/dt) =aM₀  = const

и реактивная сила

$IMAGE19$= const.

При показательном законе секундный расход массы и ре­активная сила являются переменными, но ускорение точки переменной массы $IMAGE20$, вызванное действием на точку одной реактивной силы $IMAGE21$, является постоянным, т. е.

$IMAGE22$=const.