с эллиптическим отверстием Оглавление Общетеоретическая часть Прикладная часть Физическая постановка задачи Упругие свойства материала Математическая постановка задачи Аналитическое решение Иллюстрация распределения напряжений Используемая литература. Приложение 1. (Расчетная схема на MathCad 7.0 ) Приложение 2. (График распределения напряжений). 1. Общетеоретическая часть Рассмотрим бесконечную пластинку с некоторым отверстием в центре. Центр отверстия примем за начало координат, а оси х1, х2 направим по главным направлениям упругости. На пластинку действуют некоторые распределенные нагрузки p1, p2 вдоль соответствующих осей. Общая система уравнение теории упругости выглядит следующим образом: (1) Уравнения равновесия применительно к рассматриваемой задаче, т.е. когда напряжения зависят только от двух координат, запишутся так: (2) В нашей задаче искомыми являются шесть функций компонент тензора напряжений . Но в уравнения равновесия (2) не входит , тем самым этой функции определяется особая роль. Для простоты последующих математических выкладок примем следующие предположения. Пусть для f1(x1,x2) и f2(x1,x2) существует потенциал, т.е. такая функция U(x1,x2) для которой выполняются условия: (3) Так как силы f1 и f2 задаются при постановки задачи, то потенциал U так же известная функция. Подставляя (3) в (2) получим: (4) Введем также еще две функции F(x1,x2) и y (x1,x2), которые называются функциями напряжений и вводятся следующим образом: Нетрудно видеть, что при подстановки всех этих формул в систему (4) все три уравнения будут равны нулю. Теперь если мы найдем функции F(x1,x2) и y (x1,x2), то будут найдены и функции компонент тензора напряжений, кроме компоненты . Для упрощения дальнейших выкладок сделаем следующие преобразования. Так как тензор модулей упругости Сijmn представляет собой матрицу 6х6 из которых 21 компонента независимая, то для тензора напряжений и тензора деформаций вводится матрица столбец: Тогда уравнения Коши запишутся следующим образом: а через напряжения компоненты деформации определяются по закону Гука: (5) где aij - компоненты матрицы независимых постоянных тензора упругих податливостей Dijmn. Обозначим как неизвестную функцию D(x1,x2), тогда из закона Гука следует, что: а выражение для будет равно: Теперь введем приведенные коэффициенты деформации , для которых имеет место выражение: , где i,j=1..6 (6) Подставим выражение для в обобщенный закон Гука, тогда с учетом приведенных коэффициентов деформаций эти выражения примут вид: Подставляя эти выражения в уравнения Коши получим следующую систему: (7) Уравнения системы (7) включают в себя и уравнения Коши и закон Гука. В этой системе величины - константы, величины и D зависят от двух координат x1 и x2, а перемещения ui - функции трех координат. Система (7) является системой в частных производных относительно ui и решается последовательным интегрированием уравнений. Интегрирование следует проводить в следующем порядке - сначала необходимо проинтегрировать 3, 4 и 5 уравнения. После интегрирования 3-го уравнения получим: (8) Подставляя u3 в 4-ое уравнение и интегрируя его получим: (9) Аналогично с 5-ым уравнением: (10) Подставляя полученные перемещения в неиспользованные соотношения уравнений Коши, и приравнивая к 0 сомножители при степенях x3, получим: (11) (12) (13) Исходя из того, что: функция D будет иметь вид: (14) Тогда с учетом системы (7) получим: (15) Исключая V1, U1, W1 ( путем дифференцирования, сложения и вычитания) получим: (16) (17) Подставляя в уравнения (16) и (17) выведенные нами выражения для напряжений через функции F(x1,x2) и y (x1,x2) и группируя получим: (18) где L4, L3, L2 - дифференциальные операторы в частных производных 4-го, 3-го и 2-го порядков: Уравнения (18) представляют собой систему 2-х дифференциальных уравнений в частных производных. Уравнения - линейные, неоднородные, с постоянными коэффициентами. Общее решение системы (18) для функций напряжения можно представить в виде: F0 и y 0 - общее решение соответствующей однородной системы: (19) F* и y * - частные решения неоднородной системы уравнений (18). Частные решения зависят от правых частей уравнений и если эти правые части несложны, то и частные решения обычно описать нетрудно. Чтобы получить общее решение однородной системы (19) исключим из нее y 0: (20) В силу симметрии L их можно менять местами: (21) Таким образом, мы получили линейное дифференциальное уравнение 6-го порядка для функции F. Аналогично находим уравнение для y : (22) Оказалось, что F0 и y 0 должны удовлетворять одинаковым условиям. Оператор 6-го порядка можно разложить на 6-ть линейных операторов 1-ого порядка Dk и уравнение (21) представить в виде: (23) Из теории диф. уравнений и условия что функция F0 зависит только от x1 и x2 для Dk имеем: (24) где - это корни алгебраического (характеристического) уравнения шестой степени, соответствующего дифференциальному уравнению (21). Интегрирование линейного уравнения 6-го порядка можно свести к последовательному интегрированию шести уравнений первого порядка. В результате получим следующие общие выражения: Если среди корней характеристического уравнения есть кратные, задача упрощается, однако решение системы (19) может быть найдено в любом случае исходя из следующих рассуждений. Любые 6 вещественных чисел можно принять в качестве значений независимых компонент тензора напряжений в данной точке упругого анизотропного тела. Удельная потенциальная энергия деформации есть величина положительная при любых вещественных и не равных нулю значениях компонент тензора напряжений в данной точке. Исходя из этих предположений можно доказать теорему, согласно которой алгебраическое характеристическое уравнение системы (21), не имеет вещественных корней. Поэтому можно утверждать, что числа в общем решении системы (19), а также в условиях связи всегда комплексные или чисто мнимые. Наряду с комплексными параметрами вводят и систему комплексных переменных: Введение комплексных переменных позволяет использовать при аналитическом решении рассматриваемой задачи об упругом равновесии анизотропного тела математический аппарат и методы функций комплексных переменных. Эти методы, применительно к данной задаче являются очень эффективными и позволяют получить аналитическое решение многих плоских задач теории упругости анизотропного тела. 2. Прикладная часть 2.1 Физическая постановка задачи. Рассмотрим бесконечную пластинку из ортотропного материала с эллиптическим отверстием в центре. Направление главных осей эллипса совпадает с главными осями упругости материала, усилия приложены на бесконечности вдоль главных осей. Введем следующие обозначения 2a, 2b - главные оси эллипса, с=a/b, р - усилие на единицу площади. В нашем случае отношение полуосей эллипса с=1/2. Вдоль оси 1 на бесконечности приложено растягивающее усилии р, а вдоль оси 2 - сжимающее -р. Наша задача найти напряжения на краю отверстия и построить их эпюру. 2.2 Упругие свойства материала. Пластинка сделана из стеклопластика C-II-32-50 со следующими характеристиками: Е1=13,0 ГПа; Е2=19,8 ГПа; Е3=7,8 ГПа; G12=4,05 ГПа; G13=6,4 ГПа; G23=3,2 ГПа; n 13=0.25; n 32=0.14; n 12=0.176;
|