База рефератов

Равномерная непрерывность

Определение 28.7: Функция называется равномерно непрерывной на множестве , если: . (в отличие от критерия Коши: ).
Пояснение:  Пусть: $IMAGE6$. Тогда: $IMAGE7$ Т.е. функция не является равномерно непрерывной на множестве $IMAGE9$.

Теорема 28.3: Непрерывная на отрезке функция – равномерно непрерывна на нём.

Классы интегрируемых функций

Теорема 28.4: Непрерывная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Монотонная на отрезке функция – интегрируема на нём.

Теорема 28.5: Если функция определена и ограничена на отрезке $IMAGE11$, и если $IMAGE12$можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции на $IMAGE11$. Причём общая длина этих интервалов меньше $IMAGE14$. То - интегрируема на $IMAGE11$.
Замечание: Очевидно, что если - интегрируема на $IMAGE11$, а $IMAGE19$отличается от только в конечном числе точек, то $IMAGE19$- интегрируема на $IMAGE11$и $IMAGE23$.

Существование первообразной

Определение 28.9: Пусть - интегрируема на $IMAGE11$, $IMAGE26$, тогда: $IMAGE27$функция интегрируема на $IMAGE29$и функция $IMAGE30$называется интегралом с переменным верхним пределом, аналогично функция $IMAGE31$- интеграл с переменным нижним пределом.

Теорема 28.6: Если функция - непрерывна на $IMAGE11$, то у неё существует на $IMAGE11$первообразная, одна из которых равна: $IMAGE30$, где $IMAGE26$.
Замечание 1: Из дифференцируемости функции $IMAGE37$следует её непрерывность, т.е. $IMAGE38$
Замечание 2: Поскольку $IMAGE39$- одна из первообразных , то по определению неопределённого интеграла и теореме о разности первообразных: $IMAGE41$. Это связь между определённым и неопределённым интегралами

Интегрирование подстановкой

Пусть для вычисления интеграла $IMAGE42$от непрерывной функции сделана подстановка $IMAGE43$.

Теорема. Если 1. Функция $IMAGE43$и ее производная $IMAGE45$непрерывны при $IMAGE46$

2. множеством значений функции $IMAGE43$ при $IMAGE46$является отрезок [a;b]

3. $IMAGE49$, то $IMAGE42$= $IMAGE51$.

Док-во: Пусть F(x) есть первообразная для f(x) на отрезке [a;b]. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница $IMAGE42$= $IMAGE53$. Т.к. $IMAGE54$, то $IMAGE55$является первообразной для функции $IMAGE56$, $IMAGE46$. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем

$IMAGE51$= $IMAGE59$ $IMAGE42$.

Формула замены переменной в определенном интеграле.

1. при вычислении опред. интег-ла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;

2. часто вместо подстановки $IMAGE43$применяют подстановку t=g(x)

3. не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных.

Интегрирование заменой переменной.

а). Метод подведения под знак дифференциала

Пусть требуется вычислить интеграл $IMAGE62$. Предположим, что существуют дифференцируемая функция $IMAGE63$и функция $IMAGE64$такие, что подынтегральное выражение $IMAGE65$может быть записано в виде:

$IMAGE66$.

Тогда: $IMAGE67$. Т.е. вычисление интеграла $IMAGE62$сводится к вычислению интеграла $IMAGE69$(который может оказаться проще) и последующей подстановке $IMAGE63$.

Пример: Вычислить $IMAGE71$.

$IMAGE72$.

Подстановка: $IMAGE73$.

б). Метод подстановки

Пусть требуется вычислить интеграл $IMAGE62$, где $IMAGE75$. Введём новую переменную формулой: $IMAGE76$, где функция $IMAGE77$дифференцируема на $IMAGE78$и имеет обратную $IMAGE79$, т.е. отображение $IMAGE80$на $IMAGE81$- взаимно-однозначное. Получим: $IMAGE82$. Тогда $IMAGE83$. Т.е. вычисление интеграла $IMAGE62$сводится к вычислению интеграла $IMAGE69$(который может оказаться проще) и последующей подстановке $IMAGE86$.

Пример: Вычислить $IMAGE87$.

$IMAGE88$, откуда: $IMAGE89$.

Интегрирование по частям. Пусть $IMAGE90$- дифференцируемые функции, тогда справедлива формула: $IMAGE91$, или короче: $IMAGE92$. Эта формула используется в тех случаях, когда подынтегральное выражение $IMAGE65$можно так представить в виде $IMAGE94$, что интеграл $IMAGE95$вычисляется проще исходного.

Пример: Вычислить $IMAGE96$.

Положим $IMAGE97$. Тогда $IMAGE98$. В качестве $IMAGE99$выберем первообразную при $IMAGE100$. Получим $IMAGE101$. Снова $IMAGE102$. Тогда $IMAGE103$. Окончательно получим: $IMAGE104$.
Замечание 26.5: Иногда при вычислении интеграла $IMAGE105$методом интегрирования по частям получается зависимость: $IMAGE106$. Откуда можно получить выражение для первообразной: $IMAGE107$.

Интегрирование рациональных функций

Постановка задачи: $IMAGE108$ $IMAGE109$ $IMAGE110$

т.е. все задачи сводятся к задаче B.2).

Теорема 1: Пусть $IMAGE114$, тогда, если: $IMAGE115$, где $IMAGE116$, то $IMAGE117$ $IMAGE118$Из этой теоремы следует, что для интегрирования любой рациональной функции необходимо уметь интегрировать следующие функции:

Интегрирования дробно-линейных и квадратичных иррациональностей

$IMAGE129$

Сделав подстановку: $IMAGE130$, получим: $IMAGE131$.

тогда $IMAGE132$

$IMAGE133$

a). Подстановки Эйлера.

1). Корни многочлена $IMAGE134$- комплексные, сделав подстановку: $IMAGE135$, получим: $IMAGE136$.

2). Корни многочлена $IMAGE134$- действительные: $IMAGE138$. Подстановка: $IMAGE139$, получаем: $IMAGE140$.

b). Подстановка: $IMAGE141$, далее, если:

c).

Если $IMAGE148$подстановка - $IMAGE149$

Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических

$IMAGE150$

Универсальная подстановка: $IMAGE151$, тогда: $IMAGE152$

$IMAGE153$подстановка: $IMAGE154$

$IMAGE155$или $IMAGE156$- нечётные: вносим функцию при нечётной степени под знак дифференциала

Интегрируется по частям

Неопределенный интеграл

Определение 26.1: Функция $IMAGE157$называется первообразной для функции $IMAGE158$на $IMAGE159$, если: $IMAGE160$.

Пусть $IMAGE161$и $IMAGE162$- первообразные функции $IMAGE158$на $IMAGE159$. Тогда: $IMAGE165$.

Определение 26.2: Неопределённым интегралом от функции $IMAGE158$на $IMAGE159$называется объединение всех первообразных $IMAGE158$на этом интервале. Обозначается: $IMAGE62$.
Замечание 26.1: Если $IMAGE157$- одна из первообразных $IMAGE158$на $IMAGE159$, то $IMAGE173$.
Замечание 26.2: Подынтегральное выражение в определении представляет из себя полный дифференциал первообразной $IMAGE157$на $IMAGE159$, т.е. $IMAGE176$.
Замечание 26.3: Два неопределённых интеграла равны “с точностью до постоянной”.

Св-ва неопределенного интеграла:

1.Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопред. интегр. равна подынтегр. функции. Благодаря этому св-ву правильность интегрирования проверяется дифференцированием.

$IMAGE177$, $IMAGE178$

2. Неопред. интегр. от дифференциала нек-рой функции равен сумме этой функции и производной постоянной:

$IMAGE179$

3. Постоянный множитель м. выносить за знак интеграла:

$IMAGE180$, где a $IMAGE181$0-постоянная.

4. Неопред. интегр. от алгебраич. суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраич. сумме интегралов от слагаемых функций:

$IMAGE182$

5. (Инвариантность формулы интегрирования). Если $IMAGE183$, то и $IMAGE184$, где u= $IMAGE185$- произвольн. функция, имеющая непрерывную производную.

Табличные интегралы

Определённый интеграл.

Интегрируемость

Определение 28.1: Множество точек отрезка $IMAGE11$таких, что: $IMAGE221$называют разбиением отрезка $IMAGE11$. Длины частичных отрезков разбиения обозначим: $IMAGE223$. Мелкостью разбиения $IMAGE224$(читается – “дельта большое”) назовем максимальнуя из длин отрезков разбиения, т.е. $IMAGE225$.

Определение 28.2: Пусть в определении 28.1 для всех $IMAGE226$точки $IMAGE227$. Интегральной суммой функции на отрезке $IMAGE11$с разбиением $IMAGE230$будем называть сумму (зависящую от разбиения $IMAGE230$и выбора точек $IMAGE232$) вида: $IMAGE233$.

Определение 28.3: Пределом интегральных сумм функции на отрезке $IMAGE11$назовём такое число $IMAGE236$, что $IMAGE237$. Обозначается: $IMAGE238$. $IMAGE239$

Определение 28.4: Функция называется интегрируемой на отрезке $IMAGE11$, если существует конечный предел её интегнральных сумм на $IMAGE11$. Обозначается: $IMAGE243$.

Теорема 28.1: Если интегрируема на отрезке $IMAGE11$, то она ограничена на нём.

Замечание 1: Эта теорема является необходимым, но недостаточным условием интегрируемости функции. Пример – функция Дирихле (ограничена, но неинтегрируема).

Критерий интегрируемости функций

Теорема 28.2: Для того, чтобы ограниченная на некотором отрезке функция, была интегрируема на нём, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: $IMAGE246$.

Следствие 1: Условие Т.2 эквивалентно условию: $IMAGE247$.

Следствие 2: Если функция интегрируема на , то: $IMAGE248$.

Определение 28.8: Определённым интегралом функции на $IMAGE11$называется число $IMAGE236$, равное пределу интегральных сумм на $IMAGE11$. Условие интегрируемости эквивалентно существованию определённого интеграла.

Свойства определённого интеграла