§1. Учет погрешностей вычислений.

При решении математических задач могут возникнуть погрешности по различным причинам:

1. При составлении математической модели физического процесса или явления приходится принимать условия, упрощающие постановку задачи. Поэтому математическая модель не отражает реальный процесс, а дает его идеализированную картину. Погрешность, возникающая при этом, называется погрешностью постановки задачи.

2. Часто приходится для решения задачи применять приближенный метод (интеграл заменяют квадратурной суммой, производную заменяют разностью, функцию – многочленом). Погрешность, возникающая при этом, называется погрешностью метода.

3. Часто исходные данные заданы не точно, а приближенно. При выполнении вычислений погрешность исходных данных в некоторой степени переходит в погрешность результата. Такая погрешность называется погрешностью действий.

4. Погрешность, возникающая при округлении бесконечных и конечных десятичных чисел, имеющих большее число десятичных знаков, чем надо в округлении, называется погрешностью округления.

Определение. Пусть х – некоторое число, число а называется его приближенным значением, если а в определенном смысле мало отличается от х и заменяет х в вычислениях, .

Определение. Погрешностью приближенного значения а числа х называется разность , а модуль этой погрешностью называется абсолютной погрешностью.

Если , то а взято с недостатком.

Если , то а взято с избытком.

Определение. Границей погрешности приближенного значения а числа х называется всякое неотрицательное число , которое не меньше модуля погрешности: .

Говорят, что приближение а приближает число х с точностью до , если , , .

Пример. Пусть а=0,273 – приближенное значение х с точность до 0,001. Указать границы, в которых заключается х.

При округлении чисел считают, что границы погрешности округления равна половине единицы округляемого разряда:

, α – порядок округления разряда.

Определение. Относительной погрешностью приближенного значения а числа х называется отношение

.

Пример. Округлить до десятых число 27,52 и найти погрешность и относительную погрешность округления:

,

,

.

Также как и абсолютная погрешность относительная погрешность не всегда может быть вычислена и приходится оценивать ее модуль. Модуль относительной погрешности выражается в процентах. Чем меньше модуль относительной погрешности, тем выше качество приближения.

Определение. Границей относительной погрешности приближенного значения а числа х называется всякое неотрицательное число , которое не меньше модуля относительной погрешности: .

Установим связь между границами погрешностей абсолютной и относительной:

- граница относительной погрешности;

- граница абсолютной погрешности.

.

§10. Вспомогательные сведения из функционального анализа.

Определение. Множество Х произвольных элементов называется метрическим пространством, если ставится в соответствие число , удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. ;

3. 

– расстояние между x и y.

1-3 – аксиомы метрики.

Говорят, что множество элементов - метрическое пространство сходится к , если

, .

Последовательность точек называется сходящейся в себе (фундаментальной), если .

Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной, обратное верно не всегда.

Определение. Метрическое пространство, в котором всякая фундаментальная последовательность сходится называется полным.

Пример. .

Зададим различными способами расстояния:

1. кубическая метрика, m-метрика

;

2. сферическая метрика, метрика

;

3. октаэдрическая, s-метрика

.

Для всех выполняются аксиомы метрики и в каждой – полное метрическое пространство.

Пусть X,Y – метрические пространства.

называется оператором, заданным в X со значением в Y.

Если X=Y, то – оператор, отображающий Х в себя (преобразование).

Если , то – неподвижная точка при отображении .

Определение. Говорят, что отображение называется сжимающим (сжатием), если .

§11. Решение уравнений с одним неизвестным. Дихотомия.

Пусть требуется решить уравнение (1), где – непрерывная функция.

Число называется корнем уравнения (1), если .

Если функция определена и непрерывна на и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на существует хотя бы один корень.

Отделить корень уравнения значит найти такой интервал, внутри которого находится один и только один корень данного уравнения.

Для отделения корней можно применить следующий признак:

Если на отрезке функция непрерывна и монотонна, и на концах отрезка принимает значения разных знаков, то на данном отрезке существует только один корень уравнения (1).

Достаточным условием монотонности функции на отрезке является сохранение знака производной.

Отделить корень можно и графически: нарисовать график и указать точки пересечения с осью Ох.

Совершенный метод отделения корней – метод Штурма.

Дихотомия (метод деления отрезка пополам).

1. Пусть

существует хотя бы один корень на ;

Рассмотрим и . Из этих двух выберем тот, на концах которого функция принимает значения разных знаков и поделим его пополам и т.д.

Если нужно найти корень с точностью до , то мы продолжаем делить отрезок до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше , тогда середина последнего отрезка дает значение корня с требуемой точностью.

Дихотомия проста и очень надежна: к простому корню она сходится всегда для любой непрерывной функции в том числе и недифференцируемой, при этом она устойчива к ошибкам округления. Скорость сходимости метода дихотомии не велика, т.е. за одну итерацию точность увеличивается вдвое.

Недостатки: прежде чем применить, необходимо найти отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков. Если на этом отрезке несколько корней, то неизвестно к какому из них сходится дихотомия. Метод не применим к корням четной кратности.

Метод применим к корням нечетной кратности, но хуже устойчив к ошибкам округления. Метод не применим к системам уравнений.

§12. Метод простой итерации для решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

ТЕОРЕМА 1. (Принцип Банаха сжимающихся отображений).

Пусть R – полное метрическое пространство. Если сжатие, то для него существует в R единственная неподвижная точка, к которой сходится итерационный процесс.

, где - произвольный.

План доказательства.

1. – фундаментальная

(*)

q – коэффициент сжатия

.

2. Т.к. R – пол