1. Задача 1. В урне четыре белых и пять черных шаров. Из урны наугад вынимают два шара. Найти вероятность того, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.
Решение.
Обозначим через А событие, состоящее в том, что один из этих шаров - белый, а другой - черный.
Вероятность события А найдем используя условную вероятность.
= 0,278
– вероятность того, что первый шар белый. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.
– вероятность того, что второй шар чнрный. Вероятность вычислена по формуле классической вероятности.
Ответ: 0,278.
2. Задача 2. Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q1=0,1; q2=0,2; q3=0,3; q4=0,4; q5=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.
Решение.
Пусть событие 
состоит в том, что сигнал пройдет с входа на выход.
$IMAGE6$,
где $IMAGE7$ – событие, состоящие в том, что i-ый элемент находится в рабочем состоянии.
Т.к. события $IMAGE7$ - независимые совместные события.
$IMAGE9$
Ответ: 0,994.
3. Задача 3. На трех автоматических станках изготавливаются одинаковые детали. Известно, что 30% продукции производится первым станком, 25% - вторым и 45% - третьим. Вероятность изготовления детали, отвечающей стандарту, на первом станке равна 0,99 , на втором - 0,988 и на третьем - 0,98. Изготовленные в течение дня на трех станках нерассортированные детали находятся на складе. Определить вероятность того, что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Решение. Событие А состоит в том, что что взятая наугад деталь не соответствует стандарту.
Гипотезы Н1, Н2, Н3.
$IMAGE10$ – деталь изготовлена на первом станке;
$IMAGE11$ – деталь изготовлена на втором станке;
$IMAGE12$ – деталь изготовлена на третьем станке;
Гипотезы Нi образуют полную группу событий.
Воспользуемся формулой полной вероятности:
$IMAGE13$ – полная вероятность.
$IMAGE14$= $IMAGE15$; $IMAGE16$= $IMAGE17$;
$IMAGE18$= $IMAGE19$; $IMAGE20$= $IMAGE21$;
$IMAGE22$=0,45; $IMAGE23$= $IMAGE24$;
Тогда
$IMAGE25$. = 0,015.
Ответ: 0,0,015.
4. Задача 4. Игральную кость подбрасывают 12 раз. Чему равно наивероятнейшее число выпадений 6?
Решение.
Найдем $IMAGE26$ – наиболее вероятное число выпадений 6.
Наивероятнейшее число $IMAGE26$ определяют из двойного неравенства:
$IMAGE28$;
$IMAGE29$ – вероятность появления события в каждом из $IMAGE30$ независимых испытаний. $IMAGE31$ – вероятность того, что при одном испытании выпадет 6 (по формуле классической вероятности). $IMAGE32$. $IMAGE33$ – по условию.
$IMAGE34$;
$IMAGE35$
Так как $IMAGE36$ – целое число, то наивероятнейшее число звонков равно $IMAGE37$.
Ответ: 2.
5. Задача 5. Дискретная случайная величина $IMAGE38$ может принимать одно из пяти фиксированных значений $IMAGE39$, $IMAGE40$, $IMAGE41$, $IMAGE42$, $IMAGE43$ с вероятностями $IMAGE44$, $IMAGE45$, $IMAGE46$, $IMAGE47$, $IMAGE48$ соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины $IMAGE38$. Рассчитать и построить график функции распределения.
Решение.
Таблица 1.
| $IMAGE38$ | 1 | 4 | 5 | 7 | 8 |
| $IMAGE51$ | 0,3 | 0,3 | 0,1 | 0,15 | 0,15 |
Найдем числовые характеристики данного распределения.
Математическое ожидание
$IMAGE52$ $IMAGE53$ = 4,25
Дисперсию определим по формуле: $IMAGE54$.
$IMAGE55$ $IMAGE56$= 24,55.
Тогда $IMAGE57$
Найдем функцию распределения случайной величины.
$IMAGE58$.
$IMAGE59$
Построим график этой функции
$IMAGE60$
6. Задача 6. Случайная величина $IMAGE38$ задана плотностью вероятности
$IMAGE62$
Определить константу $IMAGE63$, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины $IMAGE38$, а также вероятность ее попадания в интервал [0; $IMAGE65$]
Решение.
Коэффициент $IMAGE63$ найдем используя свойство функции плотности распределения: $IMAGE67$. Так как функция плотности распределения принимает отличные от нуля значения на интервале $IMAGE68$, то $IMAGE69$.
Вычислим определенный интеграл:
$IMAGE70$.
Следовательно, $IMAGE71$, $IMAGE72$.
$IMAGE73$
Математическое ожидание $IMAGE74$ найдем по формуле:
$IMAGE75$.
Т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке [0, $IMAGE76$], то
$IMAGE77$ = $IMAGE78$=
= $IMAGE79$ = $IMAGE80$.
Вычислили интеграл, используя формулу интегрирования по частям.
Найдем дисперсию $IMAGE81$, т.к. плотность распределения принимает отличное от нуля значения только на отрезке
[0, $IMAGE76$], то $IMAGE83$.
$IMAGE84$= $IMAGE85$.
$IMAGE86$
Найдем $IMAGE87$.
Воспользуемся формулой $IMAGE88$= $IMAGE89$.
$IMAGE87$= $IMAGE91$
Найдем функцию распределения СВ Х.
При
$IMAGE92$. $IMAGE93$
При
$IMAGE94$. $IMAGE95$
При
$IMAGE96$. $IMAGE97$
$IMAGE98$
7. Задача 7. Случайная величина $IMAGE38$ распределена равномерно на интервале $IMAGE100$. Построить график случайной величины $IMAGE101$ и определить плотность вероятности $IMAGE102$.
Решение.
Найдем плотность распределения случайной величины $IMAGE38$. Случайная величина $IMAGE38$ распределена равномерно на интервале $IMAGE100$, поэтому на этом интервале $IMAGE106$, вне этого интервала $IMAGE107$.
Построим график функции $IMAGE108$ на интервале $IMAGE100$ и в зависимости от числа обратных функций выделим следующие интервалы:
$IMAGE110$;
$IMAGE111$;
$IMAGE112$
$IMAGE113$
Так как на интервалах $IMAGE114$ и $IMAGE115$ обратная функция не существует, то для этих интервалов $IMAGE116$.
$IMAGE117$
На интервале $IMAGE118$ одна обратная функция $IMAGE119$, следовательно $IMAGE120$ $IMAGE121$
На интервале $IMAGE122$ две обратных функции $IMAGE123$ и $IMAGE124$, следовательно $IMAGE125$.
Найдем производные обратных функций
$IMAGE126$; $IMAGE127$.
Учитывая, что $IMAGE128$, получим
$IMAGE129$; $IMAGE130$.
В результате получим:
$IMAGE131$.
Таким образом, плотность вероятности величины $IMAGE132$ равна:
$IMAGE133$
8. Задача 8. Двумерный случайный вектор $IMAGE134$ равномерно распределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности $IMAGE135$ о любой точке этой области В:
$IMAGE136$
Вычислить коэффициент корреляции между величинами $IMAGE137$ и $IMAGE138$.
Решение.
Построим область $IMAGE139$
$IMAGE140$
Найдем значение константы $IMAGE141$. Воспользуемся свойством функции $IMAGE135$
$IMAGE143$
Поскольку $IMAGE135$ принимает отличные от нуля значения внутри области $IMAGE139$, то получим
$IMAGE146$ = $IMAGE147$.
Следовательно, $IMAGE148$. Значит, $IMAGE149$
Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле
$IMAGE150$
Корреляционный момент вычислим по формуле
$IMAGE151$
$IMAGE152$.
$IMAGE153$.
$IMAGE154$.
$IMAGE155$.
Определим корреляционный момент
$IMAGE156$
$IMAGE157$
Ответ: $IMAGE158$
9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины
1. Получить вариационный ряд;
2. Построить гистограмму равноинтервальным способом;
3. Построить гистограмму равновероятностным способом;
4. Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;
5. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия $IMAGE159$ и критерия Колмогорова ( $IMAGE160$)
| 0,22 | 0,42 | 0,07 | 1,69 | 0,42 | 0,94 | 1,81 | 2,24 | 0,74 | 0,75 |
| 0,80 | 2,59 | 0,55 | 0,43 | 0,51 | 0,38 | 1,41 | |