М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Полная энергия заряженной системы определяется как
|  | (24) |
Она состоит из собственных энергий тел системы Wown, i и энергий взаимодействия каждого из тел со всеми остальными Wint, i, all. При необходимости можно разбить Wint, i, all на энергии попарного взаимодействия Wint, i, j. Для вычисления собственной энергии i-го тела при интегрировании учитывается только им создаваемый потенциал, а для нахождения Wint, i, all - напротив, потенциал всех тел, кроме i-го:
| W | = |  | (25) |
| | = |  | |
При наличии заряженных точек или нитей в местах их нахождения оказывается φ = ∞. Собственные энергии таких объектов и полная энергия - формально - равны ∞, так что рассмотрению подлежат лишь энергии взаимодействия.
В случае двух тел энергия их взаимодействия - это энергия взаимодействия первого тела со вторым Wint, 1, 2 плюс равная ей энергия взаимодействия второго тела с первым Wint, 2, 1:
|  | (26) |
Сила взаимодействия двух тел может быть найдена как сила, действующая со стороны первого тела на второе или (что - с точностью до знака - то же самое) как сила, с которой второе тело действует на первое:
|  | | | (27) |
Здесь $IMAGE6$- поле, создаваемое одним первым, а $IMAGE7$- одним вторым телом.
Задача. Шар R, равномерно заряженный по объему (ρ0). Найти собственную энергию заряженного шара.
Решение: Мы должны сначала найти потенциал внутри шара, для чего ищем по теореме Гаусса поле:
| $IMAGE8$ | = | $IMAGE9$ | |
| | = | $IMAGE10$ | |
Это поле мы интегрируем, получая φ(r) для r<R:
| φ(r) | = | $IMAGE11$ | |
| | | $IMAGE12$ | |
Имея потенциал и записав dq как
можно найти энергию шара непосредственным интегрированием:
| Wown | = | $IMAGE13$ | |
| | | $IMAGE14$ | |
| | | $IMAGE15$ | |
Эта энергия совпадает с полной энергией, поскольку система состоит только из одного тела.
Задача. Точечный заряд q находится на расстоянии l от проводящей плоскости. Найти энергию и силу взаимодействия заряда со своим изображением.
Ответ: $IMAGE16$, $IMAGE17$, $IMAGE18$плоскости.
Задача. Длинная нить расположена на оси кольца R и упирается в его плоскость. И нить, и кольцо заряжены равномерно с плотностью λ0. Найти силу их взаимодействия.
Решение: Требуемая в задаче сила может быть найдена либо путем интегрирования заряда нити с полем кольца, либо путем интегрирования заряда кольца с полем нити:
Мы осуществим оба эти способа. Введем систему координат с началом в центре кольца так, чтобы кольцо оказалось лежащим в плоскости xy, а нить - вдоль оси z, занимая область координат z>0. Тогда
| dqwire = λ0dz, dqring = λ0Rdφ | | | |
Поле кольца в точке (0, 0, z) находится посредством интегрирования закона Кулона (Раздел 1), которое в итоге даёт:
Поле, создаваемое нитью в точке (Rcosφ, Rsinφ, 0), будет равно:
После этого проводим интегрирование с целью нахождения силы:
| $IMAGE24$ | = | $IMAGE25$ | |
| $IMAGE26$ | = | $IMAGE27$ | |
Как и должно быть, сила, действующая со стороны кольца на нить $IMAGE28$, с точностью до знака равна силе, действующей со стороны нити на кольцо $IMAGE29$- в соответствии с третим законом Ньютона.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта http://edu.ioffe.ru/r