Вывод уравнения колебания в электрических проводах.
Электрический ток в проводах характеризуется величиной 
и напряжением 
которые зависят от координат Х точки провода и от времени t. Рассмотрим элемент провода ∆Х. Можем написать, что падение напряжения на элементе ∆Х равно
- 
.Это падение напряжения складывается из омического, равного 
и индуктивного, равного $IMAGE6$ Итак
$IMAGE7$
где R и L –сопротивление и коэффициент индуктивности рассчитанные на единицу длинны провода. Знак минус взят потому, что ток течёт в направлении, обратном возрастанию U.Сокращая на ∆Х, получим уравнение
$IMAGE8$
Далее разность токов, выходящего из элемента ∆Х за время ∆t , будет
$IMAGE9$
Она расходуется на зарядку элемента, равную $IMAGE10$ и на утечку через боковую поверхность провода в следствии несовершенства изоляции, равную $IMAGE11$
Здесь А- коэффициент утечки. Приравняем эти выражения
$IMAGE12$
Сократим на $IMAGE13$
$IMAGE14$
Уравнения (2) и (3) принято называть телеграфными уравнениями. Составим систему уравнений
$IMAGE15$
Из этой системы уравнений можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию , и уравнение, содержащее только искомую функцию .
Продифференцируем члены уравнения (3) по Х; члены уравнения (2) продифференцируем по t и умножим их на С.
$IMAGE18$
$IMAGE19$
Аналогичным образом получим уравнение для определения
$IMAGE21$
$IMAGE22$
Если можно пренебречь утечкой через изоляцию (А=0) и сопротивлением (R=0), то уравнения (5) и (6) переходят в волновые уравнения:
$IMAGE23$
Исходя из физических условий формулируются граничные и начальные условия задачи.
Навоийский Государственный горный институт
Горный факультет
Кафедра «Высшей математики»
Волновые уравнения
Подготовил: студент 2-го курса группы 20-02 ГД
Дерюга А.М.
Навоий 2004 г.