Городская конференция учащихся муниципальных образовательных учреждений, занимающихся учебно-воспитательной деятельностью
«Шаги в науку»
Научное общество учащихся «Поиск»
Муниципального образовательного учреждения
«Средняя общеобразовательная школа №86 г.Омска»
Научное направление: «Математика»
Уравнения, содержащие параметр
Соколова Александра Михайловна
ученица 10 класса МОУ
«СОШ №86 г.Омска»
Руководитель: Дощанова Тиштых Мухановна,
учитель математики
Омск 2011
Содержание
Введение
1. Знакомство с параметрами
1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
1.2 Решение линейных уравнений с модулем
1.3 Решение квадратных уравнений
2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Заключение
Введение
В настоящее время различные задачи с параметрами – это одни из самых сложных заданий на экзаменах. А ведь в экзаменационных заданиях они есть как за 9 класс, так и за 11, но многие ученики даже не берутся решать эти задания, так как заведомо считают, что не смогут их решить, даже не попробовав. А на деле, чтобы справиться с ними, нужно всего лишь проявить логику, включить смекалку и ничего сложного не окажется.
Свою работу я захотела посвятить заданиям с параметрами, так как именно они вызывают у большинства учеников наибольшие затруднения. Мне самой нужно будет сдавать ЕГЭ, и поэтому, обращаясь к этой теме, я хотела бы облегчить и себе, и своим слушателям, тяжесть решения задач с параметрами.
Цель моей работы - научиться решать уравнения с параметрами и познакомить учеников с методами решения подобных заданий.
Я поставила перед собой следующие задачи:
1. Самой научиться решать уравнения с параметрами различных видов.
2. Познакомить учащихся с разными методами решения подобных уравнений.
3. Вызвать интерес учеников к дальнейшему изучению задач с параметрами.
В моей работе я рассмотрю следующие виды заданий с параметрами:
1) решение уравнений первой степени с одним неизвестным;
2) решение линейных уравнений с модулем;
3) решение квадратных уравнений.
уравнение параметр неизвестное модуль
1. Знакомство с параметрами
Для начала, стоило бы пояснить, что собой представляют уравнения с параметрами, которым посвящена моя работа. Итак, если уравнение (или неравенство), кроме неизвестных, содержит числа, обозначенные буквами, то оно называется параметрическим, а эти буквы – параметрами.
Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве), придать некоторое значение, то возможен один из двух следующих случаев:
1) получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные (т.е. без параметров);
2) получится условие, лишенное смысла.
В первом случае значение параметра считается допустимым, во втором – недопустимым. 
Решить уравнение (неравенство), содержащее параметр, - это значит, для каждого допустимого значения параметра найти множество всех значений данного уравнения (неравенства).
К сожалению, не редко при решении примеров с параметрами многие ограничиваются тем, что составляют формулы, выражающие значения неизвестных через параметры. Например, при решении уравнения 
переходят к у равнению 
; при m= 
записывают единственное решение 
. Но ведь при m= -1 – бесчисленное множество решений, а при m=1, решений нет.
Пример 1. Решить уравнение $IMAGE6$.
Сразу видно, что при решении этого уравнения стоит рассмотреть следующие случаи:
1) a=1, тогда уравнение принимает вид $IMAGE7$ и не имеет решений;
2) при а=-1 получаем $IMAGE8$и, очевидно, х любое;
3) при $IMAGE9$ $IMAGE10$.
Ответ: при a=1 решений нет, при а=-1 х любое, при $IMAGE11$ $IMAGE12$.
Пример 2. Решить уравнение $IMAGE13$
Очевидно, что $IMAGE14$, а $IMAGE15$, то есть х=b/2, но $IMAGE16$, то есть 2 $IMAGE17$b/2, b $IMAGE17$4.
Ответ: при b $IMAGE17$4 х=b/2; при b=4 нет решений.
Пример 3. При каких а уравнение $IMAGE20$ имеет единственное решение?
Сразу хочу обратить внимание на распространенную ошибку – считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй! При а – 2=0, а = 2, уравнение вырождается в линейное имеет единственный корень х=1/4. Если же а $IMAGE17$2, то мы действительно имеем дело с квадратным уравнением, которое даёт единственное решение при D=0 $IMAGE22$, $IMAGE23$, а=1, а=6.
Ответ: при а=2, а=1, а=6.
1.1 Решение уравнений первой степени с одним неизвестным
Решить такое уравнение – это значит:
1) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;
2) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнений.
Простейшее уравнение первой степени с одним неизвестным имеет вид ах-b=0.
$IMAGE24$ $IMAGE24$ $IMAGE24$ $IMAGE24$ $IMAGE24$При $IMAGE29$ уравнение имеет единственное решение $IMAGE30$, которое будет: положительным, если $IMAGE31$ или $IMAGE32$; нулевым, если $IMAGE33$; отрицательным, если $IMAGE34$ или $IMAGE35$.
Если а=0, то при b=0 бесчисленное множество решений, а при b $IMAGE17$0 решений нет.
Пример 1. Для каждого значения а решить уравнение $IMAGE37$; найти при каких а корни больше нуля.
Это уравнение не является линейным уравнением (т.е. представляет собой дробь), но при х $IMAGE17$-1 и х $IMAGE17$0 сводится к таковому: $IMAGE40$ или а-1-х=0.
Мы уже выявили допустимые значения икс (х $IMAGE17$-1 и х $IMAGE17$0), выявим теперь допустимые значения параметра а:
а-1-х=0 $IMAGE43$ а=х+1
Из этого видно, что при х $IMAGE17$0 а $IMAGE17$1, а при х $IMAGE17$-1 а $IMAGE17$0.
Таким образом, при а $IMAGE17$1 и а $IMAGE17$0 х=а-1 и это корень больше нуля при а>1.
Ответ: при а<0 х=а-1; при $IMAGE50$ решений нет, а при a>1 корни положительны.
Пример 2. Решить уравнение $IMAGE51$ (1).
Допустимыми значениями k и x будут значения, при которых $IMAGE52$ $IMAGE53$.
Приведём уравнение к простейшему виду:
9х-3k=kx-12
(9 – k)x =3k-12 (2)
Найдём k, при которых изначальное уравнение не имеет смысла:
Подставив в (2) $IMAGE54$, получим:
$IMAGE55$.
Если подставим $IMAGE56$, то получим так же $IMAGE57$.
Таким образом, при $IMAGE57$ уравнение (1) не имеет числового смысла, т.е. $IMAGE57$ - это недопустимые значения параметра k для (1). При $IMAGE57$ мы можем решать только уравнение (2).
1. Если $IMAGE61$, то уравнение (2) и вместе с ним уравнение (1) имеют единственное решение $IMAGE62$, которое будет:
а) положительным, если $IMAGE63$, при 4<k<9, с учётом $IMAGE64$: $IMAGE65$;
б) нулевым, если $IMAGE66$;
в) отрицательным, если $IMAGE67$ и k>9 с учётом
$IMAGE64$, получаем $IMAGE69$.
2. Если $IMAGE70$, то уравнение (2) решений не имеет.
Ответ: а) $IMAGE62$ при $IMAGE64$ и $IMAGE73$, причём х>0 для $IMAGE74$; x=0 при k=4; x<0 при $IMAGE75$;
б) при $IMAGE76$уравнение не имеет решений.
1.2 Решение линейных уравнений с модулем
Для начала, стоит вспомнить, что такое модуль числа. Итак, абсолютной величиной или модулем числа называется само число х, если х положителен, число (-х), если х отрицателен, или нуль, если х=0. Значение модуля может быть только положительным.
Чтобы понять решение параметрических уравнений, содержащих знак модуля, лучше всего продемонстрировать решение наглядно, т.е. привести примеры:
Пример 1. Решить уравнение |x-2|=b.
Так как, по определению модуля, |x-2| $IMAGE77$, то при b<0 данное уравнение решений не имеет. Если b=0, то уравнение имеет решение х=2.
Если b>0, то решениями уравнения являются числа x=2+b и x=2-b.
Ответ: при b<0 решений нет, при b=0 х=2, при b>0 х=2+b и x=2-b.
Пример 2. Решить уравнение |x-a|=|x-4|. Удобнее всего данное уравнение решить методом интервалов, для двух случаев:
1) a $IMAGE78$;
2) 4 $IMAGE79$.
1. Первый интервал:
$IMAGE80$
$IMAGE81$ $IMAGE82$ $IMAGE83$ $IMAGE84$;
Второй интервал:
$IMAGE85$
$IMAGE86$ $IMAGE87$ $IMAGE88$ $IMAGE89$, т.е. если а<4, то $IMAGE90$.
Третий интервал:
$IMAGE91$
$IMAGE92$ а=4, т.е. если а=4, то $IMAGE93$.
2. Первый интервал:
$IMAGE94$
$IMAGE95$ а=4, $IMAGE96$.
$IMAGE97$Второй интервал:
$IMAGE81$ $IMAGE99$ $IMAGE100$ $IMAGE101$ a>4,т.е. если 4<а, то $IMAGE90$
Третий интервал:
$IMAGE80$ $IMAGE80$ $IMAGE105$ $IMAGE106$ $IMAGE107$
Ответ: при а=4 х-любое;, при а<4 $IMAGE108$.
Пример 3. Для каждого значения параметра а найти все значения х, удовлетворяющие уравнению |x+3|– a| x – 1| =4.
Рассмотрим 3 промежутка: 1) $IMAGE109$, 2) $IMAGE110$, 3) $IMAGE111$ и решим исходное уравнение на каждом промежутке.
1. $IMAGE109$, $IMAGE113$.
При а=1 уравнение не имеет решений, но при а $IMAGE17$1 уравнение имеет корень $IMAGE115$. Теперь надо выяснить, при каких а х попадает на промежуток x< – 3, т.е. $IMAGE116$, $IMAGE117$, $IMAGE118$, $IMAGE119$. Следовательно, исходное уравнение на x< – 3 имеет один корень $IMAGE115$ при $IMAGE119$, а на остальных а корней не имеет.
2. $IMAGE110$. $IMAGE123$.
При а= – 1 решением уравнения является любое х; но мы решаем на промежутке $IMAGE110$. Если а $IMAGE17$1, то уравнение имеет один корень х=1.
3. $IMAGE111$. $IMAGE127$.
При а=1 решением является любое число, но мы решаем на $IMAGE111$. Если а $IMAGE17$1, то х=1.
Ответ: при $IMAGE119$ $IMAGE115$; при а= – 1 $IMAGE110$ и при а $IMAGE17$1 х=1; при а=1 $IMAGE111$ и при а $IMAGE17$1 х=1.
1.3 Решение квадратных уравнений с параметром
Для начала напомню, что квадратное уравнение – это уравнение вида $IMAGE136$, где а, b и с – числа, причем, а $IMAGE17$0.
Условия параметрических квадратных уравнений могут быть различны, но для решений всех их нужно применять свойства обыкновенного квадратного уравнения $IMAGE138$:
а) Если D>0, а>0, то уравнение имеет два действительных различных корня, знаки которых при с>0 одинаковые и противоположны по знаку коэффициента b, а при с<0, причем по абсолютной величине больше тот, знак которого противоположен коэффициенту b.
б) Если D=0, а>0, то уравнение имеет два действительных и равных между собой корня, знак которых противоположен знаку коэффициента b.
в) Если D<0, а>0, то уравнение не имеет действительных корней.
Аналогично можно представить свойства корней при а<0. Кроме того, в квадратных уравнениях справедливы следующие утверждения:
1. Если поменять местами коэффициенты а и с, то корни полученного квадратного уравнения будут обратны корням данного.
2. Если поменять знак коэффициента b, корни полученного квадратного уравнения будут противоположны корням данного.
3. Если коэффициенты а и с разных знаков, то уравнение имеет действительные корни.
Пример1. Найти все значения параметра а, для которых квадратное уравнение $IMAGE139$: а) имеет два различных корня; б) не имеет корней; в) имеет два равных корня.
Данное уравнение по условию является квадратным, поэтому а $IMAGE17$-1. Рассмотрим дискриминант данного уравнения:
$IMAGE141$
При а>-1 уравнение имеет два различных корня, т.к. D>0, при a<-1 уравнение корней не имеет, т.к. D<0, а двух одинаковых корней это уравнение иметь не может, т.к. D=0 при а=-1, а это противоречит условию задачи.
Пример2. Решить уравнение $IMAGE142$
При а=0 уравнение является линейным 2х+1=0, которое имеет единственное решение х=-0.5. А при а $IMAGE17$0, уравнение является квадратным и его дискриминант D=4-4a.
При а>1 D<0 поэтому уравнение корней не имеет. При а=1 D=0, поэтому уравнение имеет два совпадающих корня $IMAGE144$=-1.
При a<1, но а $IMAGE17$0, D>0 и данное уравнение имеет два различных корня
$IMAGE146$ ; $IMAGE147$.
Ответ: $IMAGE146$ и $IMAGE147$ при a<1, но а $IMAGE17$0; х=-0.5 при а=0; $IMAGE144$=-1 при а=1.
Пример3. Корни уравнения $IMAGE152$ таковы, что $IMAGE153$. Найдите а.
По теореме Виета $IMAGE154$ и $IMAGE155$. Возведём обе части первого равенства в квадрат: $IMAGE156$. Учитывая, что $IMAGE157$, а $IMAGE158$, получаем: $IMAGE159$ или $IMAGE160$, $IMAGE161$ $IMAGE162$. Проверка показывает, что все значения $IMAGE163$ удовлетворяют условию.
Ответ: $IMAGE164$
2. Примеры решений уравнений с параметром из ГИА и ЕГЭ части С
Узнав всю теоретическую основу и методы решений различных уравнений, содержащих параметр, я решила применить свои знания на практике. Мы выбрали несколько вариантов заданий ГИА и ЕГЭ из части С, представляющих собой именно те виды уравнений, которые были представлены в моей работе, а именно: уравнение первой степени с одним неизвестным, уравн