§ 1.Тема. Некоторые определения и обозначения.

Определение.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции. Если неизвестная функция зависит от одной переменной, то это обыкновенное дифференциальное уравнение, иначе - уравнение в частных производных.

Определение.

Наивысший порядок производных неизвестной функции, входящих в уравнение, называется порядком уравнения.

Определение.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если производные и сама неизвестная функция входят в уравнение линейным образом.

µ § (1)

Пусть выбран любойµ §, где µ §, и его норма:

µ §- дифференциальный оператор.

µ § - запись линейного диф. уравнения с помощью диф. оператора. (2)

Определение.

Открытое, связное множество µ § называется областью.

По умолчанию будем считать область ограниченной.

Через µ §или µ § будем обозначать границу области.

Определение.

µ § - (n-1)-мерное многообразие S в µ § принадлежит классу µ § (µ §), если

для µ § и µ § такие, что:

µ §, где µ §

µ § однозначно проектируется на плоскость µ §, при этом:

D - проекция данного множества на плоскость µ §, µ § - k раз непрерывно дифференцируема в D по всем переменным.

Можно разбить поверхность на части, в каждой части можно одну координату выразить через другие непрерывно дифференцируемой функцией.

µ § - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в Q.

µ § - множество k раз непрерывно дифференцируемых функций в µ §.

µ §, аналогично µ §.

µ § - множество финитных k раз непрерывно дифференцируемых функций.

Аналогично: µ §.

§ 2. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка.

µ §.

µ § - матрица квадратичной формы.

µ § - n вещественных собственных значений матрицы A

µ § - количество положительных собственных значений.

µ § - количество отрицательных собственных значений.

µ § - количество нулевых собственных значений с учетом кратности.

1.Если µ §= n или µ §= n, то это эллиптическое уравнение.

Ex: Уравнение Пуассона

µ §.

2.Если µ § = n - 1, µ § = 1, или µ § = 1, µ § = n - 1, то уравнение гиперболическое.

Ex: µ § - волновое уравнение.

Для уравнения Лапласа:

µ §

Для волнового уравнения:

µ §

3.Если µ §, а µ §, то ультрагиперболическое уравнение.

Ex: µ §.

4.Если µ §, то параболическое уравнение.

Ex: µ §, и - уравнение теплопроводности.

µ §

Определение.

Каноническим видом линейного дифференциального уравнения в частных производных называется такой вид, когда матрица A является диагональной.

Приведение к каноническому виду.

1) y=y(x), то:

µ §

Уравнение (1) в новой системе координат:

µ § (1')

Матрица Якоби:

µ §.

В результате:

Ex:

µ §

гиперболическое уравнение.

µ § - канонический вид волнового уравнения.

Замечание: тип уравнения может быть различный в различных точках.

§ 3.Постановка начальных и краевых задач для уравнений в частных производных.

Задача Коши для волнового уравнения:

µ § µ §

Уравнение теплопроводности

µ § µ §

Уравнение Пуассона

µ §

Определение.

Если малые изменения правой части уравнения приводят к большим изменениям в решении, то задача считается некорректной.

µ § (6)

µ § (7.1)

µ § (7.2)

µ § (7.3)

(6)(7.1) - первая краевая задача, задача Дирихле.

(6)(7.2) - вторая краевая задача, задача Неймана.

(6)(7.3) - третья краевая задача.

Волновое уравнение.

µ § (8)

µ § (9)

µ § (10)

µ § (11.1)

µ § (11.2)

µ § (11.3)

(8) (9) (10) (11.1) - смешанные

(11.2) задачи

(11.3) (краевые задачи)

µ § - единичный вектор внешней нормали к поверхности.

На µ § задаются начальные условия.

На боковой поверхности - краевые задачи.

Параболическое уравнение.

µ § (12)

µ § (13)

µ § (14.1)

µ § (14.2)

µ § (14.3)

(12) (13) (14.1) - первая, вторая и третья смешанные задачи

(14.2) для уравнения

(14.3) теплопроводности.

(14.1) - на границе задана температура;

(14.2) - задан тепловой поток;

(14.3) - задан теплообмен с окружающей средой.

§ 4. Решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье (разделением переменных).

Первая смешанная задача.

µ § (1)

µ § (2)

µ § (3)

µ § (4)

µ § (5)

µ § (6)

Собственные значения (5) - (6) вещественны, имеют конечную кратность.

µ §

µ § - изолир. µ §.

µ § - ортонормированный базис в µ §.

В симметричной матрице собственные вектора, соответствующие разным собственным значениям, попарно ортогональны.

Пусть функции µ § - разложены по базису µ §

µ §

тогда и u(t,x) можно разложить по базису µ § : µ §

Почленно дифференцируем ряд 2 раза:

µ §

µ § (7)

Путём разложения решения в ряды по собственным функциям задачи алгебраизуем задачу, получаем счётное число обыкновенных дифференциальных уравнений.

µ § (8)

µ § (9)

(7) (8) (9) - задача.

Решим однородное уравнение для (7):

µ §

- общее решение однородного уравнения (7)

µ §

µ § (10)

µ §

В результате: µ § - частное решение неоднородного уравнения (7).

µ § - общее решение уравнения (7).

Подставим (8) и (9) в решение:

µ §

т.е. µ §.

Замечание: не обоснована сходимость рядов.

§ 5.Решение смешанных задач уравнения теплопроводности методом Фурье (разделения переменных).

µ § (1)

µ § (2)

µ § (3)

µ § (4)

µ § (5)

µ § - собственные векторы и собственные значения.

µ §

µ § (6)

µ §

µ § - общее решение однородного уравнения (6)

µ § - частное решение неоднородного уравнения (6)

µ §

µ § - общее решение уравнения (6).

µ §

Рассмотрим функцию:

µ §

µ § - бесконечно дифференцируема при µ §.

Если µ § из µ §, то:

µ §

µ §, и при µ § функция склеивается как бесконечно гладкая.

µ §-финитная :µ §

µ § - замыкание множества, где µ § отлична от 0.

µ §.

Введём µ § - функция n переменных.

Свойства µ § :

1) µ §- бесконечно дифференцируемая, финитная:

µ §.

2) µ § - замкнутый шар радиуса h с центром в O.

µ §.

3)µ §

Доказательство.

µ §, С находится из условия µ §.

4) µ §.

Обозначим: µ §

µ §

Интеграл по x бесконечно дифференцируем.

Если µ §, то: µ §

Носитель функции принадлежит области интегрирования, и: µ §.

Если µ §, то µ § : µ §.

Свойства функции µ §:

µ §

µ §

µ §

µ §

µ § - срезающая функция.

Пространство µ §.

Определение.

Пусть µ §. Назовём множество функций µ §, пространством µ §, если:

- µ § - измеримы в Q;

- µ § в смысле Лебега.

Вводится µ §. Выполняются все аксиомы скалярного произведения.

Утверждение (без доказательства).

µ § - полное пространство.

Вводится µ §.

Свойства пространства µ §.

Теорема 1.

Множество финитных бесконечно дифференцируемых функций всюду плотно в пространстве µ § :

µ §.

Доказательство.

Множество ступенчатых функций плотно в µ §.

Множество линейных комбинаций характеристических функций всюду плотно в µ §.

Доказать: любую характеристическую функцию измеримого множества можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными функциями.

Любое измеримое множество сколь угодно точно может быть аппроксимировано открытыми областями.

Доказать: характеристическую функцию µ § можно сколь угодно точно аппроксимировать финитными бесконечно гладкими функциями.

µ §

Рассмотрим µ § - финитная, бесконечно дифференцируема в µ §.

µ §

Значит, µ §.

µ §

Аппроксимация получена.

Теорема 2.

Множество непрерывных функций всюду плотно в пространстве µ §.

Определение 2.

Пусть µ § и считается продолженной нулем вне Q µ §. Скажем:

f - непрерывна в среднеквадратичном, если µ §:

µ §.

Теорема 3.

Любая функция из µ § непрерывна в среднеквадратичном.

Доказательство.

Пусть µ §. Пусть µ §

µ §

Оценим:

µ §

При сдвиге supp сдвигается в пределах шара радиуса 2a.

µ § µ §

Теорема доказана.

Определение 3.

µ §

µ § - бесконечно дифференцируема, финитна.

Свойства:

µ §

µ § - осреднение функции f.

Теорема 4.

µ §

Любая функция из µ § сколь угодно точно аппроксимируема своими осреднениями - бесконечно дифференцируемыми, финитными в µ §.

Доказательство.

µ §

От Q к µ §, от µ § к µ §

µ §

При µ §.

Возьмем любые две функции:

µ §

Определение.

µ §- множество функций, принадлежащих µ § на любом компакте внутри области.

µ §

Определение 1.

Пусть µ §

µ § - обобщённая производная функции f, если µ § выполняется:

µ § (1)

Теорема 1.

Обобщённая производная определяется единственным образом.

Доказательство.

Предположим противное: µ § - обобщённые производные функции f.

µ § (2)

µ § (3)

(2),(3) - тождество для µ §

µ § - что и требовалось доказать.

Теорема 2.

Обобщённые производные не зависят от порядка дифференцирования.

Доказательство - из интегрального тождества (1).

Примеры обобщённых производных.

Ex 1.

µ §

По определению:

µ §

Пусть µ § и µ §

µ §

Ex 2.

µ §

Покажем, что обобщённой производной не существует.

Пусть µ §, то:

µ §

где µ §

1) пусть µ § носитель в µ §, то :

µ §

2) пусть µ

N>

(n>