Министерство образования и науки Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Бийский Педагогический Государственный Университет имени В.М. Шукшина
Физико-математический факультет
Кафедра математики
Курсовая работа
Уравнение Дирака в квантовой теории
Выполнил: студент 4курса ФМФ
Губин А.А.
Научный руководитель:
Царегородцев Л.И.
Бийск, 2011
Содержание
Введение
1. Уравнение Дирака
2. Матрица Дирака. Свойства матриц Дирака
3. Спиноры
4. Общее решение уравнения Дирака
Заключение
Список литературы
Введение
Курсовая работа состоит из введения, четырех параграфов, заключения и списка с литературой.
В первом параграфе раскрывается понятие об уравнение Дирака и вводится обозначение матриц Дирака 
, записывается вид уравнения Дирака. Во втором параграфе рассматриваются основные свойства матриц Дирака. В третьем – определяется понятие о спиноре. А в четвертом параграфе выводится решение уравнения Дирака в виде плоских волн.
Кратко остановимся на релятивистских обозначениях, которые будут нами использоваться.
Пространственно-временные координаты будут обозначаться 
, причем 
, 
, 
и $IMAGE6$; $IMAGE7$. Мы будем использовать метрический тензор $IMAGE8$ с компонентами
$IMAGE9$
$IMAGE10$ при $IMAGE11$
уравнение дирак матрица спинор
В связи с этим нужно различать ковариантные и контравариантные векторы. Контравариантный вектор (преобразующийся как координатный вектор ) будет обозначаться $IMAGE13$, а ковариантный (преобразующийся как градиент) будет обозначаться $IMAGE14$. Аналогичные обозначения будут приняты и для тензоров. Греческие индексы будут применяться для обозначения компонент (0, 1, 2, 3) пространственно-временного тензора, а латинские индексы – только для обозначения пространственных компонент (1, 2, 3). Операции опускания и поднимания индексов с помощью метрического тензора определяются следующим образом:
$IMAGE15$
где предполагается суммирование от 0 до 3 по повторяющимся греческим индексам, т.е
$IMAGE16$
Тензор $IMAGE17$ определяется уравнением $IMAGE18$, где $IMAGE19$ – символ Кронекера: $IMAGE20$, если $IMAGE21$, и $IMAGE22$в противном случае.
Введем в рассмотрение еще несколько понятий.
Транспонированным к $IMAGE23$ называют тензор $IMAGE24$, который имеет в каком-либо базисе $IMAGE25$ "перевернутые" компоненты:
$IMAGE26$
Транспонированный тензор обозначают как $IMAGE27$.
Симметричным называют такой тензор, транспонированный к которому совпадает с исходным:
$IMAGE28$
Тензор $IMAGE29$ называют обратным к $IMAGE23$, если его скалярное произведение на $IMAGE23$ дает единичный тензор. Такой тензор $IMAGE29$ обозначают как $IMAGE33$:
$IMAGE34$
Ортогональным называют тензор $IMAGE23$, обратный к которому тензор $IMAGE33$ совпадает с транспонированным $IMAGE37$.
1. Уравнение Дирака
В начале XX века, пытаясь преодолеть трудности с отрицательными плотностями вероятности в уравнении Клейна-Гордона, которое выглядит следующим образом:
$IMAGE38$ (1.1)
Дирак открыл релятивистское уравнение, которое теперь называют в его честь. Долгое время после открытия уравнения Дирака считали, что для частиц с массой это единственное правильное релятивистское волновое уравнение. И только после того, как Паули и Вайскопф дали новую интерпретацию уравнения Клейна-Гордона как уравнения для поля, это широко распространившееся мнение было опровергнуто. Но даже и теперь уравнение Дирака имеет особое значение, так как оно описывает частицы со спином $IMAGE39$, а спин $IMAGE39$ имеют электроны и протоны (с понятием "спинор" познакомимся ниже). Многие другие "элементарные частицы" также обладают спином $IMAGE39$.
Соображения, которые привели Дирака к его уравнению, следующие. Для того, чтобы предотвратить появление отрицательных вероятностей, нужно, чтобы в выражении для плотности
$IMAGE42$ (1.2)
не было производных по времени. Поэтому волновое уравнение должно содержать производные по времени не выше первого порядка. Но релятивистская ковариантность требует полной симметрии по всем пространственным и временным координатам. Поэтому нужно, чтобы в волновое уравнение входили производные только первого порядка и по пространственным переменным. Таким образом, волновая функция Дирака должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению первого порядка по всем четырем координатам. Линейность уравнения нужна, чтобы удовлетворить принципу суперпозиции квантовой механики. Если мы хотим, чтобы волновая функция $IMAGE43$ описывала свободную частицу с массой m, то нужно потребовать, чтобы она подчинялась уравнению
$IMAGE44$ (1.3)
Где
$IMAGE45$
оператор Даламбера, так как уравнение означает, что между энергией и импульсом свободной частицы выполняется соотношение $IMAGE46$ и что в согласии с принципом соответствия имеется предельный переход к случаю классической теории относительности.
Аналогичная ситуация встречается и электродинамике, где уравнения Максвелла являются уравнениями первого порядка, связывающими компоненты напряженностей поля. В то же время каждая компонента электрической и магнитной напряженностей подчиняется волновому уравнению. Волновое уравнение в электродинамике является уравнением второго порядка, не содержащим массового члена, что свидетельствует о нулевой массе покоя фотона.
Предположим, что $IMAGE47$ имеет N компонент $IMAGE48$, причем мы заранее не фиксируем значение N. Наиболее общим линейным уравнением первого порядка является уравнение, выражающее временную производную одной компоненты в виде линейной комбинации всех компонент и их пространственных производных. Если подставить соответствующие размерные множители, то наиболее общее уравнение можно записать в виде
$IMAGE49$(1.4)
На основе предположения об однородности пространства-времени $IMAGE50$ и $IMAGE51$ являются безразмерными константами, не зависящими от пространственно-временных координат $IMAGE52$. Естественный способ упрощения вида этих уравнений состоит в использовании матричной записи, которая позволяет представить систему уравнений (1.4) в виде
$IMAGE53$ (1.5)
В этом уравнении $IMAGE43$ есть матрица-столбец с N строками, а $IMAGE55$ и $IMAGE56$ – матрицы, имеющие по N строк и столбцов. Уравнение (1.5) и известно как уравнение Дирака.
Теперь найдем выражения для плотности и тока, которые соответствуют уравнению (1.5). Так как мы хотим сохранить для $IMAGE57$ привычное определение, то полагаем
$IMAGE58$ (1.6а)
или в матричной записи
$IMAGE59$ (1.6б)
где $IMAGE60$ – величина, эрмитово сопряженная $IMAGE43$, а следовательно, являющаяся матрицей-строкой, содержащей одну строку и N столбцов. Выражения (1.6) для плотности явно положительны определены и, таким образом, отвечают основным требованиям Дирака. Далее потребуем, чтобы $IMAGE57$ удовлетворяла уравнению неразрывности
$IMAGE63$(1.7)
где ток j еще должен быть определен. Можно надеяться, что тогда будет применима обычная вероятностная интерпретация. Величина $IMAGE60$ удовлетворяет уравнению
$IMAGE65$ (1.8)
которое получается эрмитовым сопряжением уравнением (1.5). Как и выше, " $IMAGE66$" является знаком эрмитова сопряжения, при котором матрицы $IMAGE67$ и $IMAGE56$ транспонируются и комплексно сопрягаются, например
$IMAGE69$ (1.9)
Перестановка $IMAGE43$ с $IMAGE56$ в (1.8) необходима потому, что $IMAGE60$ – строка, и, следовательно, $IMAGE73$ и $IMAGE74$ должны стоять после нее (а не перед ней).
Уравнение неразрывности типа (1.7) можно теперь вывести из уравнений (1.5) и (1.8), если первое умножить на $IMAGE60$ слева, а второе – на $IMAGE43$ справа и сложить получившиеся результаты. Это приводит к уравнению
$IMAGE77$ (1.10)
Последний член не содержит производных. Поэтому, если мы хотим отождествить уравнение (1.10) с уравнением (1.7), нужно добиться, чтобы этот член был равен нулю. Это можно достигнуть, если потребовать, чтобы
$IMAGE78$ (1.11)
то есть чтобы матрица $IMAGE56$ была эрмитовой. Для отождествления второй группы членов в уравнении (1.10) с дивергенцией мы потребуем далее, чтобы
$IMAGE80$ (1.12)
Другими словами, и $IMAGE67$ и $IMAGE56$ должны быть эрмитовыми матрицами. Другой путь, ведущий к тому же результату,— переписать уравнение (1.5) в гамильтоновой форме:
$IMAGE83$(1.13)
Ясно, что для эрмитовости H матрицы $IMAGE67$ и $IMAGE56$ должны быть эрмитовыми. Сравнивая (1.7) с (1.10), заключаем
$IMAGE86$ (1.14)
Для вывода дальнейших свойств матриц $IMAGE67$ и $IMAGE56$ нужно исследовать условия, которое накладывает требование, чтобы функция $IMAGE43$ удовлетворяла уравнению
$IMAGE44$ (1.3)
Где
$IMAGE45$
С этой целью умножим уравнение (1.5) на оператор
$IMAGE92$
Который приведет к появлению вторых производных. Члены с $IMAGE93$ и со смешанными пространственно-временными производными сокращаются, и мы получаем
$IMAGE94$ (1.15)
Мы симметризовали здесь член $IMAGE95$, что можно зделать вследствие коммутации $IMAGE96$ и $IMAGE97$. Чтобы уравнение (1.15) согласовалось с уравнением Клейна-Гордона, необходимо его правую часть свести к
$IMAGE98$
Это накладывает следующие условия:
$IMAGE99$ (1.16)
$IMAGE100$ (1.17)
$IMAGE101$ (1.18)
то есть матрицы $IMAGE67$ должны антикоммутировать между собой и с матрицей $IMAGE56$, а квадрат каждой из четырех матриц должен быть равен единице.
В уравнении (1.16) символ $IMAGE104$ – контравариантный символ Кронекера, значение которого совпадает с $IMAGE105$, где $IMAGE105$ – смешанный символ Кронекера, причем
$IMAGE107$
В практических приложениях нет необходимости использовать явное представление для $IMAGE67$ и $IMAGE56$; достаточно знать, что они эрмитовы и обладают свойствами (1.16) – (1.18). Более того, при решении задач удобнее обходиться без явного вида матриц. Однако их явное представление легко можно получить. Прежде всего замечаем, что размерность N должна быть четной.
На самом деле. Перепишем соотношение (1.17) в виде
$IMAGE110$(1.19)
где I – единичная матрица. Взяв детерминант от обеих частей равенства (1.19), получим
$IMAGE111$(1.20)
где учтено, что $IMAGE112$. Отсюда $IMAGE113$, и число N должно быть четным.
Придадим уравнению Дирака ковариантный вид. В записи
$IMAGE53$ (1.5)
для уравнения Дирака пространственные производные умножены на матрицы, а временные нет. Чтобы устранить это неравноправие, умножим уравнение (1.5) слева на матрицу $IMAGE56$:
$IMAGE116$(1.21)
Уравнение примет более симметричный вид, если ввести матрицы
$IMAGE117$ (1.22)
$IMAGE118$ (1.23)
Отметим, что при таком определении матрица $IMAGE119$ эрмитова и $IMAGE120$,а матрицы $IMAGE121$ – антиэрмитовы, то есть $IMAGE122$, и $IMAGE123$. Отсюда следует, что матрицы $IMAGE124$ удовлетворяют перестановочным соотношениям
$IMAGE125$(1.24)
С помощью $IMAGE124$-матриц уравнение (1.21) записывается в виде
$IMAGE127$ (1.25)
где снова использовано соглашение о суммировании. Уравнение (1.25) и является ковариантной формой уравнения Дирака, в которой пространственные и временные производные входят равноправно.
Для упрощения полученного уравнения введем обозначения. Обозначим при помощи $IMAGE128$ величину
$IMAGE129$(1.26)
где матрицы $IMAGE130$ определяются согласно
$IMAGE131$ (1.27)
С помощью этого обозначения и в естественной системе единиц уравнение Дирака записывается в виде
$IMAGE132$ (1.28)
Где
$IMAGE133$(1.29)
Ток и плотность можно записать с помощью матриц $IMAGE124$ следующим образом. Умножая равенство (1.23) на матрицу $IMAGE56$ слева, находим $IMAGE136$, а поэтому ток
$IMAGE137$ (1.14)
примет следующий вид
$IMAGE138$ (1.30)
С помощью "сопряженной" волновой функции $IMAGE139$, определенно согласно
$IMAGE140$ (1.31)
выражение для тока записывается в виде
$IMAGE141$ (1.32)
Аналогично через матрицы $IMAGE124$ записывается и плотность
$IMAGE143$ (1.33)
Уравнение для сопряженной функции $IMAGE144$ получают из уравнения (1.8), вставляя в каждом члене справа от $IMAGE60$ множитель $IMAGE146$ и используя затем соотношения (1.11), (1.12) и (1.23). В естественной системе единиц это уравнение запишется так:
$IMAGE147$ (1.34)
2. Матрица Дирака. Свойства матриц Дирака
Матрицы образуют совокупность гиперкомплексных чисел, удовлетворяющих перестан