§1. Топологические пространства
(предварительные сведения)
1.1. Непрерывные отображения топологических
пространств
Пусть Х и Y топологические пространства.
Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f –1(О) открыт в пространстве Х.
Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X→Y справедливо следующее равенство:
(1).
Теорема 1.1. Отображение f : X→Y является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз f –1(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество 
открыто в Х, в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f –1(F) замкнуто в Х.
Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f –1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому 
замкнутое в Х множество. Следовательно, множество 
открыто в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y, полный прообраз открыт в Х и отображение f : X→Y непрерывное по определению. €
1.2. Связность топологических пространств
Определение 4. Топологическое пространство Х называется несвязным, если его можно разбить на два непустых непересекающихся открытых множества:
Х = О1 $IMAGE6$ О2.
Определение 5. Пространство Х называется связным, если такого разбиения не существует.
Заметим, что если несвязное пространство Х разбито на два непустых открытых множества О1 и О2, не имеющих общих точек, то О1 = CO2 и O2 = CO1. Поэтому можно дать другое определение связного пространства:
Определение 6. Топологическое пространство Х называется связным, если в нём одновременно открытым и замкнутым множеством является лишь само пространство или пустое множество.
Определение 7. Множество Н в топологическом пространстве Х называется связным, если оно является связным пространством относительно индуцированной топологии.
Теорема 1.2. Для топологического пространства Х следующие условия эквивалентны:
(1) существуют непустые открытые множества О1 и О2, для которых О1 ∩ О2 = Æ и О1 $IMAGE6$ О2 = Х;
(2) существуют непустые замкнутые множества F1 и F2, для которых F1 ∩ F2 = Æ и F1 $IMAGE6$ F2 = Х;
(3) в Х существует нетривиальное открыто-замкнутое множество G;
(4) существует непрерывная сюръективная функция φ : Х ® {1, 2}.
Доказательство. Из (1) следует (2). Пусть О1 и О2 непустые открытые множества, для которых О1 ∩ О2 = Æ и О1 $IMAGE6$ О2 = Х. Рассмотрим множества F1 = СО1 и F2 = СО2. Они являются непустыми замкнутыми множествами, причём F1 ∩ F2 = Æ и F1 $IMAGE6$ F2 = Х.
Из (2) следует (3). Пусть F1 и F2 непустые замкнутые множества, для которых F1 ∩ F2 = Æ и F1 $IMAGE6$ F2 = Х. Рассмотрим множество G = F1 Ì Х. Множество F1 замкнутое по условию и открытое, как дополнение до замкнутого множества F2 (F1 = CF2). Поэтому множество G = F1 является нетривиальным открыто-замкнутым множеством в Х.
Из (3) следует (4). Пусть G нетривиальное открыто-замкнутое множество в Х. Тогда множество Q = CG тоже нетривиальное открыто-замкнутое в Х.
Рассмотрим функцию φ : Х ® {1, 2}, при которой
φ(х) = $IMAGE12$ $IMAGE13$ $IMAGE14$
Функция φ является непрерывной и сюръективной, т.к. для любых элементов 1 и 2 множества {1, 2} прообразы их соответственно равны множествам G и Q, открытым в Х.
Из (4) следует (1). Пусть φ : Х ® {1, 2} – непрерывная сюръективная функция и пусть множество M = {1, 2}, т.е. φ(Х) = М. Множества A = {1} и B = {2} – непустые, непересекающиеся открытые в М и $IMAGE15$. Функция φ сюръективная, поэтому справедливо следующее равенство:
Х = φ –1(М) = φ –1(А $IMAGE6$ В) = φ –1(А) $IMAGE6$ φ –1(В),
причём φ –1(А) и φ –1(В) непустые непересекающиеся множества. В силу того, что функция φ непрерывная, множества О1 = φ –1(А) и О2 = φ –1(В) непустые, непересекающиеся открытые в Х и Х = О1 $IMAGE6$ О2 . €
Теорема 1.3. Пусть в топологическом пространстве Х даны два дизъюнктных замкнутых множества F1 и F2 и непустое связное множество М, содержащееся в объединении F1 $IMAGE19$ F2. Тогда М содержится только в одном из множеств, входящих в объединение, т.е. либо в F1, либо в F2.
Доказательство. Пусть F1 и F2 дизъюнктные замкнутые в Х множества и непустое связное множество М Í F1 $IMAGE6$ F2. Тогда
М = (М ∩ F1) $IMAGE6$ (M ∩ F2).
Так как множества F1 и F2 замкнутые в Х, то множества М ∩ F1 и M ∩ F2 замкнутые в М. Но множество М связно, т.е. его нельзя разбить на два непустых непересекающихся замкнутых множества, поэтому одно из множеств, например M ∩ F2, пустое. Тогда
М = М ∩ F1 Í F1. €
Аналогично доказывается
Теорема 1.4. Если связное множество М содержится в объединении двух дизъюнктных открытых множеств О1 и О2 топологического пространства Х, то оно целиком содержится только в одном из множеств, входящих в объединение.
Теорема 1.5. Пусть f : Х→Y непрерывное отображение и f (X) = Y. Тогда если Х связно, то Y связно.
Доказательство от противного. Предположим, что пространство Y несвязно. Тогда оно разбивается на два непустых открытых дизъюнктных множества
Y = O1 $IMAGE6$ O2.
В силу того, что f непрерывное отображение и f (X) = Y, прообразы G1 = f –1(O1) и G2 = f –1(O2) будут непустыми дизъюнктными открытыми множествами, которые в сумме дают всё пространство Х, что противоречит его связности. €
1.3. Компактность топологических пространств
Определение 8. Топологическое пространство называется компактным, если всякое покрытие этого пространства открытыми множествами содержит конечное подпокрытие.
Определение 9. Множество А в топологическом пространстве Х называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии как подпространство.
Теорема 1.6. Подмножество А топологического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в Х, можно выбрать конечное подпокрытие.
Теорема 1.7. Замкнутое подмножество А компактного пространства Х компактно.
Доказательство. В силу теоремы 1.6, достаточно из произвольного покрытия $IMAGE23$ множества А открытыми в Х множествами выбрать конечное подпокрытие. Для этого добавим к этим множествам открытое множество Х \ А и получим открытое покрытие всего пространства Х. В силу компактности пространства Х, из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причём мы всегда можно считать, что в это подпокрытие входит множество Х \ А. Пусть, например,
$IMAGE24$.
Очевидно, что множества $IMAGE25$ образуют искомое конечное подпокрытие множества А. €
Определение 10. Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две его различные точки обладают непересекающимися окрестностями.
Теорема 1.8. Компактное подмножество А хаусдорфова пространства Х замкнуто.
Теорема 1.9. Непрерывный образ компактного пространства компактен, т.е. если f : Х→Y – непрерывное отображение и пространство Х компактно, то и множество f (Х) компактно.
Доказательство теорем 1.6 – 1.9 можно найти в [2].
§2. Связность непрерывных отображений
2.1. Определение связности отображения и простейшие свойства
Пусть f : Х→Y – непрерывное отображение. Для открытого в Y множества U и точки yÎY прообраз f –1(U) называется трубкой (над U), а прообраз f –1(y) называется слоем (над точкой y).
Определение 11.. Непрерывное отображение f : Х→Y называется несвязным над точкой yÎY, если существует такая окрестность Oy точки y, что трубка f –1(U) является несвязной над каждой окрестностью U Í Oy точки y.
Замечание 2. В данном определении достаточно рассматривать только связные окрестности U Í Oy, т.к., если U = U1 $IMAGE6$ U2, где U1, U2 – непустые дизъюнктные открытые в U (а значит и в Y ) множества, то
f –1(U) = f –1(U1) $IMAGE6$ f –1(U2), f –1(U1) ∩ f –1(U2) = Æ,
т.е. f –1(U) несвязно автоматически.
Определение 12. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным над точкой yÎY, если оно не является несвязным над точкой y, т.е. для любой окрестности Oy точки y существует такая связная окрестность U Í Oy точки y, что трубка f –1(U) связна.
Определение 13. Непрерывное отображение f : Х→Y называется связным, если оно связно над каждой точкой y Î Y.
Теорема 2.1 (критерии несвязности). Пусть отображение f :