Министерство высшего образования Российской Федерации
Ижевский Государственный Университет
Кафедра ВТ
Курсовая работа
Вариант Ж - 5
Выполнил: студент гр. 462
Проверил: Веркиенко Ю. В.
2006 г.
Содержание
Цель работы
Задание
1. Генерирование выборок
2. Поиск оценок для выборок
3. Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии
4. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции
5. Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)
6. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической
7. Проверка гипотезы о величине среднего (), дисперсии (2), о нормальном законе распределения (по 2 и по Колмогорову)
8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках
9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии
10. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза
11. Оценка значимости факторов по доверительным интервалам
Выводы
Цель работы
Выполнить все одиннадцать пунктов работы по заданию и сделать выводы.
Задание
На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N(m,s2) генерировать две выборки объема n
x1,¼,xn (1)
y1,¼,yn (2)
Для выборок (1), (2) найти оценки 
Ex, Sx, 
$IMAGE6$ wx, wy.
Для (1) построить доверительные интервалы для математического ожидания (считая s2 известной и неизвестной) и дисперсии.
Для (1), (2) построить доверительный интервал для коэффициента корреляции.
Для (1) построить эмпирическую интегральную функцию распределения $IMAGE7$ и теоретическую (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)
Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (x(1), x(n)) на 5-6 интервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.
Проверить гипотезы: о величине среднего (m), дисперсии (s2), о нормальном законе распределения (по c2 и по Колмогорову).
Проверить гипотезу о независимости выборок (1), (2), об одинаковой дисперсии в выборках.
Для уравнения (модели) $IMAGE8$ с заданными коэффициентами bi составить систему условных уравнений, считая $IMAGE9$ и найти по МНК оценки коэффициентов регрессии. Значения брать из равномерного закона $IMAGE10$ или с равномерным шагом на отрезке [–1, 1].
Построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза в точках x=-1, 0, 1.
По доверительным интервалам $IMAGE11$оценить значимость факторов xi=xi. Фактор считается незначимым, если доверительный интервал накрывает значение, равное нулю.
При выполнении курсовой работы использовать значения: среднее выборок Х и У равно 3, дисперсия выборок равна 1. Уровень значимости a = 0.05. С.к.о. ошибки измерений в задаче регрессии 0.2.
1. Генерирование выборок
На ЭВМ по программе случайных нормальных чисел с законом N(m,s2) генерируем две выборки объема n = 17, где m = 3 и s2 = 1
x1,¼,xn (1)
y1,¼,yn (2)
Вариационные ряды:
$IMAGE12$ (1) $IMAGE13$(2)
2. Поиск оценок для выборок
Для найденных выборок (1), (2) находим оценки Ex, Sx, $IMAGE6$ wx, wy.
Выборочное среднее:
$IMAGE20$ $IMAGE21$
Квадрат средне – квадратичного отклонения:
$IMAGE22$ $IMAGE23$
Оценка центрального момента 3-го порядка:
$IMAGE24$ $IMAGE25$
Оценка центрального момента 4-го порядка:
$IMAGE26$ $IMAGE27$
Коэффициент эксцесса:
$IMAGE28$ $IMAGE29$
Коэффициент асимметрии:
$IMAGE30$ $IMAGE31$
Оценка корреляционного момента:
$IMAGE32$ $IMAGE33$
Оценка коэффициента корреляции:
$IMAGE34$ $IMAGE35$
Размах выборки:
$IMAGE36$ $IMAGE37$
3. Построение доверительных интервалов математического ожидания и дисперсии
Для (1) строим доверительные интервалы для математического ожидания (считая s2 известной и неизвестной) и дисперсии.
Считаем s2 известной.
$IMAGE38$
$IMAGE39$
$IMAGE40$
$IMAGE41$
$IMAGE42$
$IMAGE43$
Считаем s2 неизвестной.
$IMAGE44$
$IMAGE45$
$IMAGE46$
$IMAGE47$
$IMAGE48$
$IMAGE49$
Таким образом, при различных вариантах μmin, μmax имеют почти одинаковые значения.
$IMAGE50$
Подставляем табличные значения 24,7 и 5,01 в знаменатели подкоренного выражения и получаем, что
$IMAGE51$, $IMAGE52$
$IMAGE53$, $IMAGE54$
4. Построение доверительного интервала для коэффициента корреляции
Для (1), (2) строим доверительный интервал для коэффициента корреляции.
$IMAGE55$
U = 1,96
Так как $IMAGE56$, то пусть $IMAGE57$, отсюда z = 0,693
$IMAGE58$
То есть |z| ≤ 0,693.
Если z = –0,693 и z = 0,693, то получим доверительный интервал для коэффициента корреляции –0,6 < Rxy < 0,6.
5. Построение эмпирической интегральной функции распределения и теоретической (для нормального закона с оценками среднего и дисперсии)
Создание ступенчатой функции, при скачке высотой 1/n.
$IMAGE59$
Построение эмпирических Fx(u), Fy(u) и теоретических интегральных функций распределения. В последних средние и с. к. о. Взяты равными вычисленным оценкам математического ожидания и с. к. о.
Пусть u = 0, 0.001…6, тогда
$IMAGE60$, $IMAGE61$
$IMAGE62$
- - - - теоретическая функция распределения.
____ функция $IMAGE7$для нормального закона с оценками среднего и дисперсии.
6. Построение эмпирической кривой плотности распределения и теоретической
случайный выборка доверительный интервал
Для (1) построить эмпирическую кривую плотности распределения, разбив интервал (х(1),х(n)) на несколько подинтервалов. На этом же графике изобразить теоретическую кривую.
k*sigx - ширина интервалов разбиения, k - коэффициент шага разбиния. взято симметрично от среднего значения по 4 интервала
$IMAGE64$
$IMAGE65$
$IMAGE66$
$IMAGE67$
$IMAGE68$
$IMAGE69$
$IMAGE70$
$IMAGE71$
- - - - теоретическая функция плотности распределения.
____ эмпирическая кривая плотности распределения.
7. Проверка гипотезы о величине среднего (m), дисперсии (s2), о нормальном законе распределения (по c2 и по Колмогорову)
Проверка по критерию согласия $IMAGE72$ Пирсона:
По данным выборки найдем теоретические частоты $IMAGE73$, затем, сравнивая их с наблюдаемыми частотами $IMAGE74$, рассмотрим статистику $IMAGE75$ - случайная физическая величина, имеющая распределение $IMAGE72$ с k степенями свободы. Если сумма $IMAGE77$, то выборочные данные согласуются с нормальным распределением и нет оснований отвергать нулевую гипотезу.
$IMAGE78$
$IMAGE79$
$IMAGE80$
$IMAGE81$
Определим $IMAGE72$ с $IMAGE83$ степенями свободы:
$IMAGE84$
$IMAGE85$
Как видно условие $IMAGE86$ выполняется.
Проверка по критерию согласия Колмогорова:
Условие: $IMAGE87$
где $IMAGE88$, где $IMAGE89$максимальное значение разности между экспериментальным и теоретическим распределением нормального закона.
$IMAGE90$
$IMAGE91$ при $IMAGE92$для X, и при $IMAGE93$для Y.
$IMAGE94$
$IMAGE95$ - критическое значение квантиля распределения Колмогорова.
Так как условие $IMAGE87$ – выполняется, то гипотеза о нормальном законе распределения подтверждена.
8. Проверка гипотезы о независимости выборок и об одинаковой дисперсии в выборках
Чтобы из выборки х получить вариационный ряд необходимо осуществить 18 инверсий (т. е. Q=18).
$IMAGE97$ $IMAGE98$
Проверим гипотезу о независимости $IMAGE99$: $IMAGE100$
$IMAGE101$
Так как $IMAGE102$ из нормального закона $IMAGE103$, то $IMAGE104$
$IMAGE105$
$IMAGE106$ $IMAGE13$
$IMAGE108$
$IMAGE109$
Так как условие $IMAGE100$ – выполняется, то выборки независимы.
Теперь нам необходимо проверить гипотезу об одинаковой дисперсии в выборках
$IMAGE99$: $IMAGE112$
$IMAGE113$
$IMAGE114$
$IMAGE115$
$IMAGE116$
$IMAGE117$
$IMAGE118$
$IMAGE119$
$IMAGE120$
$IMAGE121$
так как F< $IMAGE122$ ,то нет оснований, отвергать нулевую гипотезу.
9. Составление системы условных уравнений и поиск по МНК оценки коэффициентов регрессии.
Для уравнения модели
$IMAGE8$
Генерируем выборку с шагом
h = 1/N, где N = 100
Пусть даны коэффициенты регрессии:
β0 = 0; β1 = 1; β2 = 1; β3 = 0; β4 = 0; β5 = 1;
Значения матрицы плана
$IMAGE124$
$IMAGE125$
$IMAGE126$
$IMAGE127$
$IMAGE128$
$IMAGE129$
Сформируем элементы матрицы А вида:
$IMAGE130$
$IMAGE131$
$IMAGE132$
$IMAGE133$
$IMAGE134$
$IMAGE135$
$IMAGE136$
$IMAGE137$
$IMAGE138$
$IMAGE139$
$IMAGE140$
$IMAGE141$
$IMAGE142$
$IMAGE143$
$IMAGE144$
$IMAGE145$
$IMAGE146$
$IMAGE147$
$IMAGE148$
$IMAGE149$
$IMAGE150$
$IMAGE151$
$IMAGE152$
$IMAGE153$
$IMAGE154$
$IMAGE155$
$IMAGE156$
$IMAGE157$
$IMAGE158$
$IMAGE159$
$IMAGE160$
$IMAGE161$
$IMAGE162$
$IMAGE163$
$IMAGE164$
$IMAGE165$
$IMAGE166$
$IMAGE167$
Формирование правых частей нормальной системы
$IMAGE168$
$IMAGE169$
$IMAGE170$
$IMAGE171$
$IMAGE172$
$IMAGE173$
$IMAGE174$
Где $IMAGE175$ случайная величина, сгенерированная по нормальному закону с учётом коэффициентов регрессии.
$IMAGE176$
Информационная матрица
$IMAGE177$
$IMAGE178$
Решение относительно коэффициентов регрессии.
Для нахождения вида уравнения регрессии необходимо вычислить коэффициенты регрессии $IMAGE179$ данного уравнения.
$IMAGE180$
$IMAGE181$
Уравнение регрессии :
$IMAGE182$
Графики уравнения регрессии и результатов измерений, по которым определялись коэффициенты регрессии:
$IMAGE183$
- - - - уравнение регрессии
____ случайная выборка из нормального закона
10. Построение доверительных интервалов для коэффициентов регрессии, остаточной дисперсии и ошибок прогноза
Доверительные интервалы будем находить для каждого элемента вектора оценок коэффициентов регрессии $IMAGE184$.
В случае нормальных ошибок доверительные интервалы находятся из двойного неравенства:
$IMAGE185$
где $IMAGE186$ - остаточная сумма квадратов; $IMAGE187$ - диагональный элемент ковариационной матрицы вида $IMAGE188$
$IMAGE189$ так как слагаемых в уравнении регрессии шесть.
$IMAGE190$ (1)
$IMAGE191$ (2)
$IMAGE192$ (3)
Строим интервал для коэф-та регрессии:
$IMAGE193$
$IMAGE125$
$IMAGE126$
$IMAGE127$
$IMAGE128$
$IMAGE129$
$IMAGE182$
$IMAGE200$
$IMAGE201$
$IMAGE202$
Доверительный интервал $IMAGE203$, где из таблицы находим.
k = 6;
Тогда для r = [1…6] будем
брать соответствующий элемент ковариационной матрицы, и находить доверительный интервал с учётом (1) (2) (3).
Нахождение доверительного интервала для $IMAGE204$ (фактор $IMAGE205$):
$IMAGE206$
- $IMAGE207$
Нахождение доверительного интервала для $IMAGE208$(фактор $IMAGE209$):
$IMAGE210$
$IMAGE211$
Нахождение доверительного интервала для $IMAGE212$(фактор $IMAGE213$):
$IMAGE214$