База рефератов

Истоками математической статистики (М.С.) является большой объем статистических данных и потребность после их специальной обработки сделать прогноз развития исходной ситуации.

Первый раздел М.С. – описательная статистика – предназначена для сбора, представления в удобном виде и описания исходных данных. Описательная статистика обрабатывает два вида данных: количественные и качественные.

К количественным относятся рост, вес и т.д. к качественным – тип темперамента, пол.

Описательная статистика позволяет описать, обобщить, свести к желаемому виду свойства массивов данных.

Второй раздел М.С. – теория статистического вывода – это формализованная система методов решения задач, сводящихся к попытке вывести свойства большого массива данных путем обследования его малой части.

Статистический вывод строится на описательной статистике и от частных свойств выборки данных мы переходим к частным свойствам совокупности.

Третий раздел М.С. - планирование и анализ эксперта. Разработана для обнаружения и анализа причинных связей между переменными.

Измерение – это приписывание чисел объектам в соответствии с определенными правилами. Числа – это удобные в обработке объекты, в которые мы преобразуем определенные свойства нашего восприятия.

Шкала наименований или номинальная шкала. Номинальное измерение сводится к разбиению совокупности объектов на классы в каждом из которых сосредоточены объекты, идентичные по какому-нибудь признаку или свойству, например, по национальности, по полу, по типу темперамента.

При данных измерениях каждому из классов присваивается число, но оно используется исключительно как название этого класса и никаких операций над этими числами производить не предполагается.

Порядковое измерение возможно только тогда, когда в квалифицируемых объектах можно различить разную степень признака и свойства, на основе которого производится квалификация (например, конкурс красоты “Умники и умницы”). В данном случае числа используют только одно свое свойство – способность упорядочиваться.

Интервальная шкала принимается тогда, когда можно определить не только количество, свойства или признака в объекте, но также зафиксировать равные различия между объектами, то есть можно ввести единицу измерения для свойства или признака (например, температура, возраст).

Числа при интервальных измерениях имеют свойство упорядоченности и однозначности. Равные разности чисел соответствуют равным разностям значений измеряемого свойства или признака объекта.

Шкала отношений отличается от интервальной только тем, что точка отсчета не произвольна, а указывает на полное отсутствие измеряемого свойства или признака объекта.

Переменные бывают дискретные и непрерывные. При измерениях, особенно непрерывных свойств или признаков, можно достигнуть только косвенного значения переменной, то есть приближенного к точному и степень этого приближения будет определяться чувствительностью измерения.

Чувствительность определяется минимальной единицей цифровой шкалы, имеющейся в нашем распоряжении.

Пределы для точного значения устанавливаются путем прибавления и вычитания половины чувствительности измерительного процесса.

Множество чисел записывается с использованием произвольной величины с индексом, который указывает порядковый номер величины в цепи данных (xi).

1.

2.

3.

4.

5.

Перед анализом и интерпретацией данных их обобщают.

Обобщение – запись данных в виде таблицы. Самый элементарный этап.

Ранжирование – упорядочение переменных от максимального до минимального или наоборот. Такое упорядочивание называется несгруппированным рангом.

Распределение частот. Проранжированный список сворачивают, указывая все полученные измерения подряд, однократно, а в соседней графе указывают частоту, с которой встречается данная оценка

Распределение сгруппированных частот применяется при большом количестве оценок (100 и более). Оценки группируются по признакам и каждая такая группа называется разрядом оценок. В случае полного поглощения этими группами всех данных, мы говорим о распределении сгруппированных частот.

Предварительно образовывать не менее 12 и более 15. Меньше 12 искажает результат, более 15 затрудняет работу с таблицей.

1) Определяем размах – разницу между максимальной и минимальной оценкой (112-44=69)

2) Выбор интервала разряда: 69:12=5,75

Определяем с уменьшением до 5: 69:15=4,6

3) Определение границ раздела. Необходимо образовать достаточное количество разрядов, чтобы не потерять самую маленькую и самую большую оценки, поэтому табулирование начнем с величины кратной интервалу. Ближайшее кратное 5 ниже нижней оценки – это 40. И делим на разряды до тех пор, пока не будет охвачена самая высокая оценка. Если необходимо сравнить 2 и более выборки, их помещают в такую же таблицу.

Квантили – это способ описать группу измерений. Квантиль – это общее понятие.

Квантиль – точка на числовой шкале, которая делит совокупность наблюдений на группы с соответствующими пропорциями в каждой из них.

Квартиль – делит наблюдения на 4 группы (Q)

Дециль – делит наблюдения на 10 групп (D)

Квинтель – делит наблюдения на 5 групп (К)

Процентиль – делит наблюдения на 100 групп (Р)

Процентель представляет собой точку, ниже которой лежит Р % - в оценок.

Для определения 25 процентиля P25 (границы под которой расположены 25% всех выставленных оценок)

Общая формула:

где:

n – общее число оценок

L – фактическая нижняя граница того раздела оценок, который включает себя нужную нам оценку

cumf – накопленная в данной нижней границе частота

f – количество оценок в данном разделе

p – определяемый процентиль (в данном случае 0,25)

p*n = 0,25*125=31,25

Находим фактическую нижнюю границу раздела L, содержащую 31,5 (это между 34 и 16).

Нижняя граница оценки 28,5

L=28,5f=34-16=18

Вычитаем накопленную частоту L из произведения nf: ((31,25-16)/18) + 28,5=29,35

Для определения процентиля в случае наличия интервалов оценок, формула принимает вид:

где W – ширина любого интервала оценок (в примере =1).

В табличных процессорах представляется возможность оформить численные данные в виде графика или диаграммы различного вида, но разновидностей графического представления данных существует больше, чем это предусмотрено программным обеспечением и прежде чем использовать какой-либо из видов необходимо:

Примеры диаграмм и графиков: линейная, столбиковая, полосчатая, кумулятивная кривая, данные накапливаются с течением времени, пиктограмма – данные представляются в виде стилизованных изображений (улов рыбы в виде рыбы), логарифмическая диаграмма, круговая диаграмма.

Гистограмма - это последовательность столбцов, каждый из которых опирается на один раздельный интервал, а высота столбца – это частота или количество случаев.

Принято распределять горизонтальную шкалу на один раздельный интервал вправо и влево от полученного диапазона. Чтобы гистограмма не получилась сплющенной или вытянутой, выбирают такой масштаб шкалы, чтобы ее ширина составляла 1 2/3 высоты. Середина столбца совмещается с срединой интервала, на практике ее изображают в форме контура, опуская вертикальные линии.

Полигон распределения – это та же гистограмма, но линии соединяют середины столбцов каждого разрядного интервала. Так как на разрядах справа и слева от разрядов распределения частот, частота имеет нулевое значение, поэтому полигон распределения продолжают до горизонтальной оси в середине интервала ниже меньшей оценки и выше высшей оценки.

Огива производится по точкам максимально приближенно без углов или острых фигур, ее называют кривой процентелей. Точки, определяющие кривую процентелей расположены по горизонтали у верхней границы каждого раздела. Огива проходит путь от 0 до 100%. При рисовании огивы надо следить за тем (особенно при малом числе объектов), чтобы, когда мы сглаживаем кривую, над ней оставались бы столько же точек, сколько и под ней. При отсутствии любых графических средств можно создать гистограмму на пишущей машинке в виде полосчатой диаграммы.

Гистограмма наиболее легка для восприятия и используется в тех случаях когда всего одно распределение. Если надо сравнить два и более распределений, используют полигон, чтобы избежать запутанной картины.

Огива дает возможность оценить квантили, медианы и другие характеристики точки. Удобно сравнивать несколько групп данных на одном графике.

При исследовании массивов данных мы чаще всего оперируем величинами, характеризующими этот массив, именно по ним делаем вывод обо всей совокупности данных. К таким характеристикам относятся меры центральной тенденции, то есть значение наиболее часто встречающееся в данной совокупности. Этих мер существует несколько:

мода – это такое значение во множестве наблюдений которое встречается наиболее часто. Сложность в том, что редкая совокупность имеет единственную моду. (Например: 2, 6, 6, 8, 9, 9, 9, 10 – мода = 9). Соглашения по поводу меры Если все значения в группе встречаются одинокого часто, считают, что у данной группы

Более удобно при расчете обращаться к статическим таблицам, содержащим вычисления из этого уравнения. Они составлены при условии, что bc/ad>