Содержание работы: Формулировка и доказательство теоремы Штольца. Применение теоремы Штольца:  ; нахождение предела “среднего арифметического” первых n значений варианты  ;  ;  . Применение теоремы Штольца к нахождению некоторых пределов отношения последовательностей. Нахождение некоторых пределов отношения функций с помощью теоремы Штольца. Для определения пределов неопределенных выражений  типа  часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу. Пусть варианта  , причем – хотя бы начиная с некоторого листа – с возрастанием n и  возрастает:  . Тогда =  , Если только существует предел справа (конечный или даже бесконечный). Допустим, что этот предел равен конечному числу  :  . Тогда по любому заданному  найдется такой номер N, что для n>N будет  или  . Значит, какое бы n>N ни взять, все дроби  ,  , …,  ,  лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания yn вместе с номером n, положительны, то между теми же границами содержится и дробь  , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при n>N  . Напишем теперь тождество:  , откуда  . Второе слагаемое справа при n>N становится <  ; первое же слагаемое, ввиду того, что  , также будет < , скажем, для n>N’. Если при этом взять N’>N, то для n>N’, очевидно,  , что и доказывает наше утверждение. Примеры: Пусть, например,  . Отсюда, прежде всего вытекает, что (для достаточно больших n)  , следовательно, вместе с yn и xn  , причем варианта xn возрастает с возрастанием номера n. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению   (ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, что  , что и требовалось доказать. При а>1  Этот результат с помощью теоремы Штольца получается сразу:   Применим теорему Штольца к доказательству следующего интересного предложения: Если варианта an имеет предел (конечный или бесконечный), то этот же предел имеет и варианта  (“среднее арифметическое” первых n значений варианты аn). Действительно, полагая в теореме Штольца Xn=a1+a2+…+an, yn=n, Имеем:  Например, если мы знаем, что  , то и  Рассмотрим теперь варианту (считая k-натуральным)  , которая представляет неопределённость вида . Полагая в теореме Штольца xn=1k+2k+…+nk, yn=nk+1, будем иметь  . Но (n-1)k+1=nk+1-(k+1)nk+… , так что nk+1-(n-1)k+1=(k+1)nk+… и  . Определим предел варианты  , представляющей в первой форме неопределенность вида  , а во второй – вида  . Произведя вычитание дробей, получим на этот раз неопределенное выражение вида  :  . Полагая xn равным числителю этой дроби, а yn – знаменателю, применим еще раз ту же теорему. Получим  . Но  , а  , так что, окончательно,  . Пример 1.  =  =  =  =  =  =  =   =  =  . Пример 2.  = =  = =  = =  = =  = =  = =  . Пример 3.  =  =  . Теорема Штольца справедлива для последовательностей, но т.к. последовательности есть частный случай функций, то эту теорему можно обобщить для функций. Теорема. Пусть функция  , причем, начиная с некоторой xk, g(xk+1)>g(xk), т.е. функция возрастающая. Тогда  , если только существует предел справа конечный или бесконечный. Доказательство: Допустим, что этот предел равен конечному числу k  . Тогда, по определению предела   или  . Значит, какой бы  ни взять, все дроби  ,  , …,  лежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания g(xn) вместе с x(n), положительны, то между теми же границами содержится и дробь  , числитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель – сумма всех знаменателей. Итак, при   . Напишем тождество(которое легко проверить):  , Откуда  . Второе слагаемое справа при становится  ; первое же слагаемое, ввиду того, что  , так же будет , скажем, для  . Если при этом взять  , то для , очевидно  , что и доказывает теорему. Примеры: Найти следующие пределы:  очевидна неопределенность =  =  =2  неопределенность =  =  ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
|