Министерство образования Российской Федерации
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Самарский государственный университет»
механико-математический факультет
кафедра дифференциальных уравнений и теории управления
специальность прикладная математика
Существование решения дифференциального уравнения и последовательные приближения
Курсовая работа
Выполнил студент
2 курса 1222 группы
Труфанов Александр Николаевич
Научный руководитель
Долгова Ольга Андреевна
__________
работа защищена
«___»___________200_г.
Оценка _______________
зав. Кафедрой профессор д.ф.-м.н.
Соболев В.А.
Самара 2004
Теорема существования и единственности решения уравнения
Пусть дано уравнение
с начальным условием
Пусть в замкнутой области R 
функции 
и 
непрерывны). Тогда на некотором отрезке $IMAGE6$существует единственное решение, удовлетворяющее начальному условию $IMAGE7$.
Последовательные приближения определяются формулами:
$IMAGE8$ $IMAGE9$ k = 1,2....
Задание №9
Перейти от уравнения
$IMAGE10$
к системе нормального вида и при начальных условиях
$IMAGE11$, $IMAGE12$, $IMAGE13$
построить два последовательных приближения к решению.
Произведем замену переменных
$IMAGE14$; $IMAGE15$
и перейдем к системе нормального вида:
$IMAGE16$
Построим последовательные приближения
$IMAGE17$
$IMAGE18$
Задание №10
Построить три последовательных приближения $IMAGE19$ к решению задачи
$IMAGE20$, $IMAGE21$
Построим последовательные приближения
$IMAGE22$
$IMAGE23$
Задание №11
а) Задачу
$IMAGE24$, $IMAGE25$
свести к интегральному уравнению и построить последовательные приближения $IMAGE26$
б) Указать какой-либо отрезок, на котором сходятся последовательные приближения, и доказать их равномерную сходимость.
Сведем данное уравнение к интегральному :
$IMAGE27$
$IMAGE28$
$IMAGE29$
Докажем равномерную сходимость последовательных приближений
С помощью метода последовательных приближений мы можем построить последовательность
$IMAGE30$
непрерывных функций, определенных на некотором отрезке $IMAGE31$, который содержит внутри себя точку $IMAGE32$. Каждая функция последовательности определяется через предыдущую при помощи равенства
$IMAGE33$ $IMAGE34$i = 0, 1, 2 …
Если график функции $IMAGE35$ проходит в области Г, то функция $IMAGE36$ определена этим равенством, но для того, чтобы могла быть определена следующая функция $IMAGE37$, нужно, чтобы и график функции $IMAGE36$ проходил в области Г. Этого удается достичь, выбрав отрезок $IMAGE39$достаточно коротким. Далее, за счет уменьшения длины отрезка $IMAGE39$, можно достичь того, чтобы для последовательности $IMAGE30$ выполнялись неравенства:
$IMAGE42$, i = 1, 2, …,
где 0 < k < 1. Из этих неравенств вытекает следующее:
$IMAGE43$, i = 1, 2, …,
Рассмотрим нашу функцию на достаточно малом отрезке, содержащим $IMAGE44$, например, на $IMAGE45$. На этом промежутке все последовательные приближения являются непрерывными функциями. Очевидно, что т.к. каждое приближение представляет из себя функцию от бесконечно малого более высокого порядка, чем предыдущее приближение, то выполняются и описанные выше неравенства. Из этих неравенств следует:
$IMAGE46$
что и является условием равномерной сходимости последовательных приближений.
С другой стороны, на нашем отрезке выполняется $IMAGE47$, что также совершенно очевидно. А так как последовательность $IMAGE48$ сходится, то последовательность приближений является равномерно сходящийся на этом отрезке.
Список использованной литературы
1. Л.С. Понтрягин. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1961
2. А.Ф. Филиппов «Сборник задач по дифференциальным уравнениям», М.: Интеграл-Пресс, 1998
3. О.П. Филатов «Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям»,Самара: Издательство «Самарский университет», 1999
4. А.Н. Тихонов, А.Б. Васильева «Дифференциальные уравнения», М.: Наука. Физматлит, 1998