Вариант № 7
Задание:
1. Ввести новые переменные, максимально уменьшив число параметров системы.
2. Найти неподвижные точки системы и исследовать их характеристики в зависимости от параметров системы.
3. Исследовать поведение предельных циклов. Доказать их существование/несуществование.
4. Построить фазовые портреты системы при всех возможных параметрах системы.
5. Дать биологическую интерпретацию полученным результатам.
1. Вводим новые переменные x à Ax, y à By, t à Tt и переписываем систему:
2. Нахождение неподвижных точек преобразованной системы
2.1 x=0,y=0 ==> O(0,0)
2.2 
P 
2.3 
Q $IMAGE6$
3. Характеристики неподвижных точек
Запишем Якобиан нашей системы
$IMAGE7$
3.1 $IMAGE8$
3.2 $IMAGE9$
3.3 $IMAGE10$
Проведем дополнительное исследование, обозначив на параметрическом портрете возможные области значений $IMAGE11$.
а) точка О – сток, как было показано выше;
б) точка Р :
$IMAGE13$
Область 1: $IMAGE14$
Область 2: $IMAGE15$
Точка Р – исток (неуст. узел)
Область 3: $IMAGE16$
Точка Р – седло
в) точка Q $IMAGE6$:
Область 1: $IMAGE18$
Область 2: $IMAGE19$
Область 3: $IMAGE20$
$IMAGE21$
Точка Q – исток ( неустойчивый узел)
Кроме того, при поиске собственных значений Якобиана возникает уравнение
$IMAGE22$
Решение уравнения D<0 производилось графически , поскольку аналитическое решение в этом случае представляется затруднительным. Для этого использовался математический пакет Maple 6. При фиксированном значении $IMAGE23$ были рассмотрены точки ( $IMAGE24$)области 3, для которых проверялось неравенство D<0. Таким образом, как видно из рисунка, в 3-ей области появляется подобласть 3’. Неравенство D<0 выполняется в области 3 – 3’ , где вещественные части собственных значений будут положительны. В этой области точка Q превращается в неустойчивый фокус.
Запишем результаты исследования характеристик точек в таблицу:
| \Область Точка | 1 | 2 | 3 | 3 – 3’ |
| O | сток | сток | сток | сток |
| P | не сущ. | исток | седло | седло |
| Q | не сущ. | не сущ. | исток | неуст. фокус |
4.1 Параметрические области системы
$IMAGE25$
4.2 Область 1: $IMAGE26$
$IMAGE27$
4.3 Область 2: $IMAGE28$
$IMAGE29$
4.3 Область 3’ : $IMAGE30$
$IMAGE31$
4.5 Область 3 – 3’ : $IMAGE32$
$IMAGE33$
5. Биологическая интерпретация модели.
$IMAGE34$
Данная система представляет собой модель взаимного влияния в природе двух животных видов – хищников и жертв. Как видно из рисунков, в этой системе оба вида вымирают. Предельных циклов в системе нет. X – жертвы, Y – хищники. Динамику взаимодействия двух видов описывают три функции: g(x) – функция динамики численности жертв, p(x) – трофическая функция жертв (характеризует число жертв убитых одним хищником), q(x) – трофическая функция хищников (характеризует влияние числа жертв, убиваемых одним хищником, на изменение численности популяции хищников).
$IMAGE35$
$IMAGE36$