С.А. Ануфриенко
Симметpия, как бы шиpоко или узко мы ни понимали это слово, есть идея, с помощью котоpой человек в течение веков пытался объяснить и создать поpядок, кpасоту и совеpшенство.
Геpман Вейль
Введение
Со временем замечаешь, как непохожи друг на друга пути, ведущие к решению красивых геометрических проблем. Бесконечность возможных направлений поиска многих людей приводит в трепет, но одновременно дает хорошую надежду отыскать свою собственную дорогу в геометрическом лабиринте. В любом случае открытие метода, позволяющего решить целый ряд сложных задач, является событием большой редкости. Об одном из таких методов и пойдет речь в этой статье. Мы начинаем с перечисления некоторых классических проблем, решения которых будут приведены позже.
A. Четыре окружности w1, w2, w3 и w4 расположены таким образом, что wi касается wi+1 для i < 4, а w4 касается w1. Образуются четыре точки касания. Доказать, что найдется окружность, проходящая через все эти точки.
B. Разделить с помощью циркуля данный отрезок [AB] на n равных частей (n Î N).
C. Только с помощью циркуля найти центр данной окружности.
D. Даны точки A, B, C, D и окружность w. Только с помощью циркуля найти пересечение прямых (AB) и (CD), а также точки пересечения прямой (AB) с окружностью w (задачи геометрии Мора-Маскерони).
E. Построить окружность, которая проходит через две данные точки A и B и касается данной окружности w1.
F. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных окружностей.
G. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей (задача Аполлония).
H. Для двух различных точек A и B и положительного числа k найти геометрическое место точек X, для которых отношение |XA|/|XB| равно k ¹ 1 (окружность Аполлония).
I. Для произвольного треугольника через r, R и d обозначим соответственно радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами. Доказать, что d2 = R2-2Rr (формула Эйлера).
Инверсия и ее свойства
В 1831 году Л. Дж Магнус впервые стал рассматривать преобразование плоскости, которое получило название симметрии относительно окружности или инверсии (от лат. inversio - обращение). Под инверсией плоскости a относительно окружности w(O,R) с центром в точке O и радиусом R понимают такое преобразование множества a\{O}, при котором каждой точке A Î a\{O} ставится в соответствие такая точка A¢, что A¢ лежит на луче [OA) и |OA|·|OA¢| = R2 (далее будем использовать обозначение invOR(A) = A¢). Заметим сразу, что инверсия не определена в точке O, но иногда бывает полезно добавить к плоскости одну бесконечно удаленную точку, т.е. рассмотреть множество aÈ{¥} и при этом считать, что invOR(O) = ¥ и invOR(¥) = O.
На рис. 1 указан способ построения образа точки A при инверсии относительно окружности w = w(O,R). Для этого проводят перпендикуляр (AB) к прямой (OA) и из точки пересечения wÇ(AB) проводят касательную к окружности w. Из подобия треугольников DOAB и DOBA¢ получаем отношение |OA|/ |OB| = |OB|/ |OA¢| или
|OA|·|OA¢| = |OB|2 = R2. Следовательно invOR(A) = A¢.
Рис. 1
На рис. 2 построение образа выполнено только с помощью циркуля (в предположении, что |OA| > R/2). Для этого достаточно провести окружность
w(A,|OA|) и для двух точек пересечения w(O,R)Çw(A,|OA|) построить равные окружности w(B,R) и w(C,R). Вторая точка пересечения w(B,R)Çw(C,R), отличная от точки O, является искомой. Для доказательства используем подобие равнобедренных треугольников DOBA¢ и DOBA. Сначала получаем |OA¢|/ |OB| = |OB|/|OA|, а затем, необходимое |OA|·|OA¢| = |OB|2 = R2. Если же |OA| £ R/2, то сначала увеличивают отрезок [OA] в n раз до отрезка [OB] (удвоение отрезка показано на рис. 3 - последовательно откладывают радиус |OA| на окружности w(A,|OA|) и используют свойство правильного вписанного шестиугольника), после этого находят B¢ = invOR(B) и снова увеличивают (а не уменьшают!) отрезок [OB¢] в n раз до отрезка [OC]. Можно доказать, что C = invOR(A).
Рис. 2 Рис. 3
Из многочисленных свойств инверсии рассмотрим лишь следующие. Пусть
A¢ = invOR(A) и B¢ = invOR(B).
I. Если A ¹ B, то A¢ ¹ B¢.
Утверждение требует проверки только когда лучи [OA) и [OB) совпадают. В этом случае |OA| ¹ |OB| и поэтому |OA¢| ¹ |OB¢|. Приходим к неравенству A¢ ¹ B¢.
II. Все точки окружности w(O,R) при инверсии invOR остаются неподвижными. Внутренние точки круга с границей w(O,R) переходят во внешние, а внешние - во внутренние.
Первая часть утверждения очевидна, а вторая следует из замечания: если
|OA| < R, то |OA¢| = R2/|OA| > R.
III. Если A¢ = invOR(A), то A = invOR(A¢). Для произвольных фигур F и F¢ из условия F¢ = invOR(F) также следует F = invOR(F¢).
IV. Треугольники DAOB и DA¢OB¢ подобны. При этом ÐOBA = ÐOA¢B¢.
Достаточно заметить, что эти треугольники имеют общий угол, а из равенства |OA|·|OA¢| = R2 = |OB|·|OB¢| следует равенство отношений |OA|/|OB¢| = |OB|/|OA¢|. Обратите внимание, что в отличие от подобия, пропорциональность связывает стороны [OA] и [OB¢], [OB] и [OA¢], а не [OA] и [OA¢], [OB] и [OB¢]. Из подобия получаем ÐOBA = ÐOA¢B¢.
V.
|A¢B¢| = |AB|
|OA|·|OB| ·R2.
Действительно, по свойству IV имеем
|A¢B¢| = |AB|·|OA¢|
|OB| = |AB|
|OA|·|OB| ·R2.
VI. Прямая a, проходящая через центр инверсии, отображается в себя. Если же O Ï a и A - основание перпендикуляра из точки O на прямую a (рис. 4), то образом прямой a будет окружность w1, построенная на отрезке [OA¢] как на диаметре (A¢ = invOR(A)).
Рис. 4
Для доказательства этого свойства рассмотрим произвольную точку B прямой a. По свойству IV ÐOB¢A¢ = ÐOAB = 90°. Следовательно точка B¢ лежит на окружности с диаметром [OA¢]. Удивление от такого неожиданного действия инверсии на произвольную прямую пройдет, если принять в расчет бесконечно удаленную точку. Каждая прямая проходит через ¥. Поэтому переход ¥ в точку O заставляет концы прямой сжиматься к точке O. Следующее свойство позволяет определить центр окружности, которая является образом прямой из свойства VI.
VII. Пусть w1 = invOR(a). Обозначим через O1 = Sa(O), где Sa - осевая симметрия с осью a (рис. 4). Тогда центром окружности w1 является точка O1¢ = invOR(O1).
Сохраняя принятые в предыдущем свойстве обозначения, имеем |OO1| = 2|OA|. Подставляя это в равенство |OA|·|OA¢| = R2 = |OO1|·|OO1¢| получаем |OO1¢| = |OA¢|/2. Поэтому точка O1¢ является серединой отрезка [OA¢].
VIII. Окружность w1(O1,r), проходящая через центр инверсии, отображается на некоторую прямую a. Более того, если A - конец диаметра, проходящего через O и O1 (A ¹ O), то прямая a проходит через точку A¢ = invOR(A) и перпендикулярна прямой (OO1).
Справедливость этого свойства сразу следует из свойств III и VI.
IX. Окружность w1(O1,r1), не проходящая через центр инверсии, отображается при invOR на некоторую окружность w2(O2,r2). Точнее, если точки A и B являются концами диаметра, лежащего на прямой (OO1) (рис. 5), то отрезок [A¢B¢] является диаметром окружности w2 (A¢ = invOR(A), B¢ = invOR(B)).
Рис. 5
Для доказательства рассмотрим произвольную точку C окружности w1 и покажем, что C¢ = invOR(C) Î w2. Из свойства IV имеем равенства ÐOCA = ÐOA¢C¢ и ÐOCB = ÐOB¢C¢. Поэтому ÐA¢C¢B¢ = ÐOB¢C¢- ÐOA¢C¢ = ÐOCB-ÐOCA = 90°. Следовательно C¢ Î w2.
Переходит ли центр O1 в центр образа w2, точку O2? Никогда (убедитесь в этом с помощью прямых вычислений, т.е. докажите, что O1¢ = invOR(O1) не может быть серединой [A¢B¢]). Этот "недостаток" инверсии с лихвой компенсируется замечательным ее свойством сохранять величину угла. Напомним, что угол между пересекающимися окружностями по определению равен углу между касательными к этим окружностям в точке их пересечения. Аналогично определяется и угол между пересекающимися прямой и окружностью. Рассмотрим частный случай: для двух касающихся окружностей w1 и w2 определим величину угла между invOR(w1) и invOR(w2). Вид образов invOR(w1) и invOR(w2) во многом зависит от положения точки O относительно окружностей w1 и w2. Так, если O Ï w1Èw2, то из свойств I и IX получаем, что invOR(w1) и invOR(w2) являются касающимися окружностями. Если же O лежит только на одной из окружностей, например на w1, то из свойств I, VIII и IX получим касающиеся прямую invOR(w1) и окружность invOR(w2). И, наконец, если O совпадает с точкой касания окружностей, то invOR(w1) и invOR(w2) являются параллельными прямыми (величина угла между параллельными прямыми по определению равна нулю). Итак, в каждом из случаев, величина угла между invOR(w1) и invOR(w2) равна нулю. Аналогично можно установить, что если прямые a и b параллельны, то величина угла между invOR(a) и invOR(b) также равна нулю.
X. Инверсия сохраняет величину угла между прямыми, пересекающимися окружностями, пересекающимися прямой и окружностью.
Докажем сначала, что для любых прямых угол Ða,b совпадает с углом между invOR(a) и invOR(b). Утверждение очевидно, если прямые проходят через точку O. Пусть теперь O Î a и O Ï b (рис. 6). Обозначим через w1 окружность, в которую переходит прямая b, и через b1 - касательную к w1 в точке O. Так прямые b и b1 перпендикулярны одному и тому же диаметру, то они параллельны. Поэтому угол между a и w1, равный по определению углу между a и b1, совпадает с углом Ða,b. Рассуждения аналогичны и в случае, когда O Ï aÈb (надо рассмотреть касательные к окружностям invOR(a) и invOR(b) в точке O).
Рис. 6
Поскольку угол между окружностями и между прямой и окружностью определялся через касательные, то доказательство остальных двух утверждений легко сводятся к случаю сохранения угла между прямыми.
Основой решения целого ряда геометрических проблем является удачное применение того или иного преобразования плоскости. При этом мы считаем использование какого-либо преобразования удачным, если образы рассматриваемых фигур поддаются простому геометрическому анализу. В задаче Фаньяно1, например, стороны треугольника наименьшего периметра получаются из отрезка прямой серией осевых симметрий. При отыскании точки Ферма2 похожая идея реализуется с помощью поворота на 60°. В следующих параграфах попробуем выяснить насколько способность к упрощению свойственна инверсии. Этот параграф закончим решением проблемы A.
Решение A. Обозначим через A, B, C, и D соответственно точки касания w1Çw2, w2Çw3, w3Çw4 и w4Çw1. Сделаем инверсию с центром в O = A относительно окружности некоторого радиуса R. По свойству VIII и IX получим пару параллельных прямых a = invOR(w1),