Основные понятия мат анализа. Матем-наука о простых формах и количеств отношений окружающего нас мира. Переменой величиной наз величина d ринимает различн числовые значения. величина значения d не меняется наз постоянной величиной. Совокупность всех числовых значений переменой величины наз областью изменения этой переменной. Окрестность Ÿ х0 наз производный интервал (a;b) содержащий эту Ÿ. If каждому значению переменной х э неd области соответствует 1 определенное значение др переменой у, то у есть f(х)=у. способы задания f. 1)таблица 2)графический совокупность Ÿ M(х;у) не лежащих на прямой // оу, определяет зависимость у=f(х) 3)аналитический. Аналитическим выражением наз символическое обознач совокупности известных матем операций d производятся в определ последовательности над числами и буквами обозначающиеем постоянные и переменные величины. if f зависимость у=f(х) такова, что f обозначается аналитич выражением, то f задана аналитически. F f(х) наз периодической if $ t: "х f(х+t)=f(x). Четная, нечетная, монотонная f. Элементарные f. 1)постоянная у=с, с-действительное число; 2)степенная у=х^а, а-д.ч. 3)показательная у= f^х a>x a≠1 4)логорифмическая у=loga x a>x a≠1, 5)тригонометрические 6)обратные тригонометрические. Предел функции. (Коши) число а наз lim f f(х) в Ÿ х0б if для " Е>0 $ б>0, такое что для всех х0 х э Ω, х ≠ 0 и удовлетвор |х-х0|<б верно |f(х)-А|<Е. (Гейне) число А наз lim f f(х), if " последовательности хn (хnÎW, хn¹х0), сходящейся к · х0, соответствующая последовательность значений f сходится к числу А. Оба определения эквивалентна, т.е. if f f(х) имеет предел А в смысле определения I, то она имеет тот же предел А в смысле определения II, и наоборот. Замечание. if f(х)èв при хèа, так что х<а, то lim f(х)=в (хèа-0). Опр. If lim спр or сл =, то это будет lim в смысле данного выше опр. Для сущ lim f приемного отделения хèа не требуется чтобы f была опр в Ÿ а. БМВ. F α(х) наз бмс хèа if α(х)=0 if для "Е $ б: |x-α|<бè |α(х)|<Е. св-ва 1) if α(х) и β(х)-бм f при хèх0, то их Σ α(х)+β(х) и произвед=бм f при хèх0 2)f(х)-ограниченая f α(х)*β(х)=бм f при хèх0 3)α(х)-бм при хèх0, f(х) имеет в Ÿ х0 конечный предел, lim f(х)=А, то f α(х)*f(х) и α(х)/f(х)=бм при хèх0 4)if α(х) бм при хèа но не обращ в 0, то у=1/α(х)=∞. Основные Т о пределах. 1)lim Σ конечного числа f= Σ их lim, if они сущ. Д. (хèа) α1,α2-бм lim u1=a1, lim u2=a2, u=u1+u2, u1=a1+α1, u2=a2+α2; lim u=lim(u1+u2)=lim (a1+a2 +α1+α2) =a1+a2 2)lim произведения конечного числа f= произведению lim, if они сущ. Lim аналогично. Следствие: const множитель можно выносить за знак lim. 3)lim частного= частному lim, if знаменатель ≠ 0. Д.(хèа) lim (u(x)/v(x))=(lim u(x))/(;im v(x), lim v(x)≠0, Lim u=a1,lim v=a2≠0;u=a1+α, v=a2+β;α,β-бм;u/v=(a1+α)/(a2+β)=a1/a2+(a1+α)/(a2+β)–a1/a2= a1/a2 + (α*a2-β*a1)/(a2(a2+β)), u/v=a1/a2+γ, lim(u/v)=a1/a2 4) if для соответствующих значений 3 f u(x), z(x), v(x) выполняется неравенство u≤z≤v и lim u(x)=lim v(x)=b èlim z(x)=b Д. u-b≤z-b≤v-b "E $ б1 |x-a|<б1è|u(x)-b|<E, $ б2 |x-a|<б2è|v(x)-b|<E б=min(б1,б2), -E<u-b<E –E<u-b≤z-b≤v-b<E, -E<v-b<E –E<z-b<E |z-b|<E 5)if y≥0, lim y=bèb≥0 Д. b<0 |y-b|≥|b| E=|b|, $ < |y-b|<E=|b| пришли к противоречию. Замечание: if у>, то Т тоже выполняется в той же формулировке (b≥0). 6)if v≥u в неd окрестности Ÿ а lim v≥lim u Д. v-u≥a èlim (v-u) ≥0èlim v-lim u≥0èlim v≥lim u Сравнение бмв. (xèa)О. if lim(α/β)≠0, lim(β/α)≠0, то α и β наз бмв одного порядка (zb x^2 и 2x^2). O if lim β/α=0, то β-бм é высокого порядка чем α.О бмв β наз бм nго порядка относительно α, if lim β/αn=A≠0. О. if lim β/α=1, то α,β –эквивалентные бмв. Т. If α, β-экивалентные бмв, то α-β-бмв é более высшего порядка, чем α и β. Д. lim ((α-β)/α)=lim(1-β/α)=1-1=0 1 Зам lim. SΔMOA<Sсект MCA<SΔCOA; SΔMOA=½OA*MB= ½ sin x; Sсект MCA= ½ x*1= ½ x; SΔCOA= ½ OA*AC= ½ tg x; sin x<x<tg x |:x; 1<x/sin x<1/cos x; 1>sin x/x>cos x; sin x/xè1; sin(-x)/-x=sin x/x; cos (-x)=cos x 2 зам lim. Т . переменная величина (1+ 1/n)n, при nè∞ имеет lim заключенный между числами 2 и 3. (1-1/n)n=1+n*1/n+n(n-1)/2n2+n(n-1)(n-1)/(2*3*n3)…=1+1+½(1-1/n){<1}+ 1/(1*2*3) (1-1/n{<1})(1-2/n{<1})+…+1/(1*2*…n)*(1-1/n{<1})*(1-2/n{<1})…(1-(n-1)/n). При переходе от n к n+1 добавляется 1 слагаемое, каждое слагаемое возрастает. Это выражение является é последовательностью. Полагаем, что она ограничена. {2<}(1+1/n)n<1+1+1/ (1*2)+1/(1*2*3){1/22}+…+(1/(1*2*3…n)<1+2+½+1/22+1/2n-1=1+(2-(½ )n-1)<3 é и огран последов. Непрерывность f. у=f(х) х=х0+Δх. Δf=f(х)-f(х0)=f(х0+Δх)-f(х0); f(х)=f(х0)+ Δf. О. f f(х) наз непрерывной в Ÿ х0, if она опр в этой Ÿ и в неd ее окрестности и lim Δf=0(Δхè0).( Δхè0) lim (f(х0+ Δх)-f(х0))=0, lim f(х0+ Δх)=f(х0). хèх0 lim f(х)=f(х0)è lim f в Ÿ=значению в этой Ÿ. Zb у=х2 докажем, что f непрерывна в Ÿх0. Δf=(х0+ Δх)2-х02=х02+2х0Δх+(Δх)2-х02=2х0Δх+(Δх)2. lim Δf{xè0}=l (2x0Δx+(Δx)2)=0. Т. If f f1 и f2 непрерывны в Ÿ х0, то их Σ тоже непрерывна в Ÿ х0. Д. φ(х)=f1(х)+f2(х). {xèx0}lim φ(x)=lim(f1(x)+f2(x))=Lim f1(x)+lim f2(x)=f1(x0)+f2(x0)=φ(x0). Следствие:Т справедлива для " конечного числа слагаемых. Т1. произведение 2 непрерывных f будет есть непрерывная f. 2. частное 2 непрерывных f будет непрерывной f, if знаменатель не обращается в 0. 3. if f u=f(х)непрерывна в Ÿ х0 и f f(u) непрерывна в Ÿ u0=φ(х), то сложная f f(φ(u))непрерывна в Ÿ х0. Т. Всякая элементарная f непрерывна в каждой Ÿ в d она определена (sin,log…). О. if f f(х) непрерывна в каждой Ÿ неd интервала (a;b), то говорят что она непрерывна на этом интервале. О. if f определена при х=а и lim f(х)=f(а) {xèa+}, то говорят что f непрерывна в Ÿ а справа, аналогично слева. О. if f(х) непрерывна в каждой Ÿ интервала (a;b), в Ÿ а непрерывна справа, f в Ÿ в слева(а<в ), то говорят, что f f непрерывна на отрезке (a;b). О. if в Ÿ х0 не выполняется АО крайней мере 1 из условий непрерывной, т.е. if при х=х0 f неопределенна или не существует lim f(х){xèx0} or он ≠ значению f в Ÿ, то говорят, что f разрывна в Ÿ х0. Ÿ х0 в э том случае Ÿ разрыва f. Классификация Ÿ разрыва. 1) if $ lim f(х), но f неопределенна в этой Ÿ, либо нарушено условие lim f(х)≠f(x0){xèx0}, тогда х0 наз Ÿ устранимого разрыва 2) не$ lim f(х){xèx0}, но $ lim справа и слева, lim f(x){xè x0+}≠lim f(x){xèx0-}-f имеет разрыв 1 рода.3)if хотя бы 1 lim не$ or =∞, то говорят, что f имеет разрыв 2 рода. Свойства непрерывной f. Т if f f(х) непрерывна на неd отрезке [а;в], то на этом отрезке найдется по крайней мере 1 Ÿ х, такая, что значение f в этой Ÿ будет удовлетворять соотношению: f(х1)≥f(х), где х-" др Ÿ отрезка. Значение f(х1) наз наибольшим значением f f(х) на [a;b]. Т. Пусть f f(х) непрерывна на [a;b] и на концах этого отр принимает значение разных знаков, тогда между Ÿ а и в найдется по крайнем мере 1 Ÿ с, такая что она будет =0. Т. Пусть f f(х) определена и непрерывна на [a;b], if на концах этого отрезка f принимает ≠ значении А и В (A<B), то для " числа μ "MA≤M≤B $ c: f(c)=μ. Следствие: if f у=f(х) непрерывна на неd интервале, она принимает по крайней мере 1 раз ",заключенное между ее наибольшим и наименьшим значениями. Производная f.. Пусть f f=f(х) опред в неd внутренней Ÿ интервала (а;в). Зададим аргументу х в Ÿ х0 произвольное приращение Δх такое, что Ÿ x0+ Δх также находится на (а;в). Тогда f у=f(х) получит приращение Δу=f(х0+Δх)-f(х0), d, является f приращения аргумента Δх при фиксированном х0. О. lim Δу/Δх при Δхè0 (if существует) наз производной f у=f(х) в Ÿ х0 и обознач {Δxè0}lim Δу/Δх=lim (f(х0+Δх)-f(х0))/хΔ. Операция нах производной наз дифференцирование. Геометрический смысл производной. If М1èМ0 секущаяèзанять предельное значение. Прямая занимающая предельное положение наз касательной. Tg φ=Δf/Δx tg α={MnèM0}lim tg φ={Δxè0}lim Δf/Δx=f `(x). Значение произв в Ÿ = tg < накл касательной к оси ох. F f(х) наз дифференцируемой в Ÿ х, if Δf предоставлена в виде Δf=АΔх+α(Δх)*Δх, где А-число, α(х)-бмв при Δхè0. Т. Дифференцируемость f в Ÿ эквивалентно существованию производной {Δxè0} lim Δf/Δx=lim (AΔx+α(Δx)Δx)/Δx=0(Δx)=lim (A+α(Δx))=A; Δf/Δx=f `(x)+α(Δx). Т. If дифференцируема в Ÿ, то она непрерывна в этой Ÿ. Д. f `(x)={Δxè0}lim Δf/Δx, Δf=f `(x)Δx+α(Δx)Δx, lim Δf=lim (f `(x)Δx{бмв}+α(Δx)Δx{бмв})=0 обратное неверно. Основные Т о производных. Т. Производная Σ конечного числа f = Σих произведений, if последние сществуют. Д. f(x)= u(x)+v(x), f(x+Δx)=f(x)+Δf, u(x+Δx)=u(x)+Δu; v(x+Δx)=v(x)+Δv; Δf=Δu+Δv; f(x+Δx)-f(x)=u(x+Δx)+v(x+Δx)-u(x)-v(x); f `={Δxè0} lim Δf/Δx=lim (Δu+Δv)/Δx=lim Δu/Δx+lim Δv/Δx=u`+v`. Т. If f=uvèf `=u`v+v`u, if u` и v` существуют. F(x+Δx)=u(x+Δx)v(x+Δx)=(u(x)+Δu)(v(x)+Δv)=u(x)v(x)+ u(x)Δv+Δuv(x)+ΔuΔv; Δf=u(x)v(x)+u(x)Δv+Δuv(x); f `(x)={Δxè0}lim (u(x)v(x)+u(x)Δv+Δuv(x))/Δx=lim (u(x)Δv)/Δx + lim v(x)*Δu/Δx+lim Δv*Δu/Δx=u(x)v`(x)+v(x)u`(x) Т.f= v(x)*u/v≠0 f `=(u`(x)-≠0 f `=(u`(x)-v`(x))/v2. Δf=u(Δx+x)/v(x+Δx) – u(x)/v(x)=u(x+Δx)/v(x+Δx)=u(x+Δx)/v(x+Δx)=(Δu+u(x))/(Δv+v(x)) – u(x)/v(x)=(v(x)Δu-u(x)Δv))/((Δv-v(x))v(x)). F `={Δxè0}lim [(v(x)Δu-u(x)Δv)/Δx]/(v(x)(Δv+v(x)))=lim [v(x)*Δu/Δx – u(x)*Δv/Δx]/(v(x)(Δv+v(x)))=(vu`-uv`)/v2 Дифференциал. F у=f(х) наз дифференцируемой в Ÿ х0, if ее приращение Δу=f(х0+ Δх0)-f(х0)в этой Ÿ можно представить в виде Δу=А(х0)Δх-α(Δх), где А(х0) не зависит от Δх и α(Δх) f от Δх, такая что α(Δх)/Δхè0, при Δхè0. приращение f состоит из 2 частей: А(х0)Δх – главная часть приращения, линейно зависимая от приращение Δх аргумента, и α(Δх)-нелинейная f от аргумента Δх, d является бм высшего порядка малости по сравнению с Δх при Δхè0, т.е. α(Δх)=0(Δх). Для того чтобы f f(х) была дифференцируемой в Ÿ х0, необходимо и достаточно, чтобы она имела конечную производную в этой Ÿ, тогда А(х0)=f `(х0). Обозначается df(x0)=f `(x0)Δx. Дифференциал f у=f(х) обозначается dy. F`(x)=dy/dx, or y`=dy/dx. Производная и дифференциалы разл порядков. О. пусть f дифференцируемая на интервале (а;в). Производную f `(x) наз производной 1 порядка, или 1 производной f f(х). if f f `(x) дифференцируема на (а;в), то ее производную наз 2 производной, или производной 2 порядка f f(х) и обозначается f ``(x) or f(2)(x), fxx``(x), т.е. f ``(x)=(f`(x))`. Производная n-го порядка: f^(n)(x)=(f^(n-1)(х))`, if на интервале (а;в) существует дифференцируемая функция f^(n-1)(х). по определению полагают f(0)(х)=f(х), т.е. f f(х) наз нулевой производной. Физ смысл: if s=s(t)-закон прямолин движения маериальн Ÿ, то s``(t) есть ускорение этой Ÿ в момент времени t. Т. Ролля. If f f(х) непрерывна на отрезке [а;в] дифференцируется на интервале (а;в) и f(а)=f(в)=0, то внутри [а;в] $ Ÿ с, в d производная=0.Дт.к. f f(х) непрерывна на отрезке [а;в], то она имеет на [а;в] наибольшее значение M и наименьшее значение m. If M=m, то f(х)=const f `(x)=0 " x. If M≠m, то по крайнем мере 1 из этих чисел =0. пусть для определения M>0 и f принимая max знач при х=с. f(c)=M; c≠a; c&