РЕФЕРАТ
ТЕМА: МНОГОЧЛЕНЫ
Подготовила:
ученица 7 В класса школы № 58
Черняева Ирина
Многочлены
“Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть при помощи названной науки" Готфрид Лейбниц (учёный, математик).
Труды ал - Хорезми (VIII - IX века), Абу Камила (IX - X века), ал - Караджи (X - XI века), ал-Беруни (X - XI века), Омар Хайяма (XI - XII века), ал-Каши (XIV - XV века) и других ученых стран ислама значительно способствовали развитию алгебры, в частности теории уравнений. Однако в этих трудах отсутствовали символы и знаки. Как содержание задачи и название величин, так и все действия, решение и ответ записывались полностью словами.
Омар Хайям - (полное имя) Гияс ад-дин Фатх ибн Ибрахим Омар Хайям Нишапури - Ghiyath al-Din Abu'l-Fath Umar ibn Ibrahim Al-Nisaburi al-Khayyami (английский перевод)
Родиной Омара Хайяма был Хорасан (г. Нишапур) - область, расположенная к востоку и юго-востоку от Каспийского моря. На богатом историческом материале исследователи доказали заслуги Омара Хайяма как ученого, который сделал ряд важнейших открытий в области астрономии, математики и физики.
Список математических трактатов Омара Хайяма:
Трудности арифметики (Мушкилат ал-хисаб) - Местонахождение рукописи не найдено;
Алгебраический трактат без названия - Тегеран;
Трактат о доказательствах задач алгебры и алмукабалы (Рисала фи-л-барахин 'ала маса'ил алджабр ва-л-мукабала) - Париж, Лейден, Лондон, Нью-Йорк, Рим;
Комментарии к трудностям во введениях книги Евклида (Шарх ма ашкала мин мусадарат китаб Уклидис) - Лейден.
Известные нам математические результаты Хайяма относятся к трем направлениям: к алгебре, к теории параллельных, к теории отношений и учению о числе. Во всех этих направлениях Хайям имел в странах ислама выдающихся предшественников и преемников. Во многом он отправлялся от классиков греческой и эллинистической науки - Аристотеля, Евклида, и других, но вместе с тем он выступает как яркий представитель новой математики с ее мощной и определяющей вычислительно-алгоритмической компонентой.
Здесь мы дадим краткую характеристику математического творчества Хайяма, отсылая за подробностями к нашим комментариям к переводам его трактатов.
Алгебраический трактат Хайяма можно разбить по порядку на пять разделов:
1) введение;
2) решение уравнений 1-й и 2-й степени;
3) решение уравнений 3-й степени;
4) сведение к предыдущим видам уравнений, содержащих величину, обратную неизвестной;
5) дополнение (в тексте трактата такого деления на разделы не имеется).
Хайям говорит: "Алгебраические решения производятся при помощи уравнения, т.е. как это хорошо известно, приравнивание одних степеней другим". Словом, алгебра определяется как наука об уравнениях и именно о тех уравнениях, которые в настоящее время называются алгебраическими. Мы впервые здесь находим и термин "алгебраисты" - ал-джабриййуна.
Такой же, риторической алгебра оставалась долгое время и в Европе.
Еще в XVI веке уравнение, которое ныне записывается в виде:
х3+ах=Ь9
записывалось так: "Куб р некоторое количество вещей равно числу".
Здесь буква р стоит вместо нашего знака +;
"некоторое количество" - вместо а;
"вещь" - вместо х,
"число" - вместо Ь.
В 1572 году видный итальянский математик Р. Бомбелли записывал алгебраические выражения так, как показано ниже:
i I Р 2 X " P 2
21 P 41 P 4 g1P 41 P 4
4lp 8 з p 24 2 p 32 I p 16
I " P 2 W
5 I p io 4 p 40 3 p 80 2 p 80 i p 32,Что означает (X + 2) 2 = X2 + 4 X 4 - 4, (x2+ 4x + 4) 2= x4 - b8x3 + 24x2 + 32x + i6.
Такие громоздкие записи затрудняли алгебраические действия, тормозили развитие науки. Между тем не только необходимость, но и возможность введения и употребления кратких записей и буквенной символики стали особенно очевидными после изобретения книгопечатания в XV веке.
Алгебру Диофанта, индийских и западноевропейских математиков до XV - XVI веков, в которой употреблялись отдельные буквы, обозначения и сокращения слов, иногда называют синкопирующей (от греческого "синкопе" - сокращение).
В конце XVI века Виет, основываясь на частично разработанной до него символике, стал обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них, ввел общую буквенную символику. Однако записи уравнений Виета содержали еще много слов вместо символов. Например, вместо знака равенства он писал слово "равно" и т.п.
Алгебраическая символика совершенствовалась и продолжала развиваться в трудах Рене Декарта, Исаака Ньютона, Леонарда Эйлера и других ученых XVII - XVIII веков.
Алгебраическая символика значительно облегчила изучение математики и способствовала ее полному расцвету.
Математические исследования Декарта тесно связаны с его работами по философии и физике. В "Геометрии" (1637) Декарт впервые ввёл понятия переменной величины и функции.
Переменная величина у Декарта выступала в двойной форме: как отрезок переменной длины и постоянного направления - текущая координата точки, описывающей своим движением кривую, и как непрерывная числовая переменная, пробегающая совокупность чисел, выражающих этот отрезок. Двоякий образ переменной обусловил взаимопроникновение геометрии и алгебры. У Декарта действительное число трактовалось как отношение любого отрезка к единичному, хотя сформулировал такое определение лишь И. Ньютон; отрицательные числа получили у Декарта реальное истолкование в виде направленных ординат. Декарт значительно улучшил систему обозначений, введя общепринятые знаки для переменных величин (x, у, z) и коэффициентов (a, b, с), а также обозначения степеней (х4, a5). Запись формул у Декарта почти ничем не отличается от современной.
До середины XIX века центральной задачей алгебры было нахождение формулы для корней уравнения P (x) = 0, где P - многочлен произвольной степени. Эта задача была полностью решена в работах молодых математиков первой трети XIX века - Э. Галуа (1811-1832), Н. Абеля (1802-1829) и П. Руффини (1765-1822).
Эварист Галуа
Еще в XVI веке итальянскими математиками были найдены формулы для решения уравнений третьей и четвертой степени. Абель и Руффини доказали, что, начиная с пятой степени, общей формулы, использующей, кроме сложения и умножения, лишь извлечение корней, не существует, а Галуа открыл закономерности поведения корней, приложимые к каждому конкретному уравнению.
Параллельно с этим К. Гаусс доказал основную теорему алгебры, утверждающую, что всякий многочлен (коэффициенты многочлена могут быть не только вещественными, но и комплексными числами) имеет хотя бы один корень (возможно, являющийся не вещественным, а комплексным числом). После этого вопрос о вычислении корней многочлена переместился из алгебры в теорию функций и приближенных вычислений.
В XX веке роль многочленов стала меняться. Буквы, входящие в многочлен, все больше стали играть роль символов, не связанную с их конкретными значениями. Самые разные области математики и ее приложений стали использовать символьное исчисление многочленов, не зависящее от теории функций (математическая логика, топология, теория информации, дискретная и компьютерная математика и т.д.).
Приведем пример. В XX веке важнейшей задачей человечества стала задача передачи информации (радио, телефон, передача видеосигналов и т.д.).
Математически сообщение может быть записано в виде последовательности символов (точки и тире в старинной азбуке Морзе, нули и единицы и т.п.), передаваемой по так называемому каналу связи (например, в виде радиосигналов).
Определение многочлена
Одночленом от некоторой буквы x называется алгебраическое выражение a. xn
где
a - некоторое число,
x - буква,
n - целое неотрицательное число.
Одночлены называются подобными, если показатели степени у буквы одинаковы. Подобные одночлены можно складывать по правилу:
a. xn + bn. xn = (a + b). xn
Это действие называется приведением подобных членов.
Многочленом называется алгебраическая сумма одночленов.
Любой многочлен от одной буквы x (ее часто называют переменной) после приведения подобных членов может быть записан по убывающим степеням этой буквы в виде
F (x) = an. xn + an-1. xn-1 + …+ a1. x + ao
или по возрастающим степеням
F (x) = ao + a1. x + …+ an-1. xn-1 + an. xn
Такая запись многочлена называется канонической.
Иными словами, многочлен - это сумма целочисленных степеней некоторой величины, взятых с заданными коэффициентами.
Общепринятый сейчас способ вычисления многочленов восходит к Ньютону и называется схемой Горнера. Эта универсальная (то есть применимая к любому многочлену) схема предельно проста и изящна. Она получается из формулы указанной выше вынесением за скобки x всюду, где это возможно:
F (x) = (… ( ( (x + a1). x + a2). x + a3) …). x + an
Порядок действии при вычислении f (x) определяется скобками в этой формуле. Сначала сложение внутри самой внутренней пары скобок (его результат обозначим через p1, затем умножение и сложение внутри следующей пары скобок (результат p2) и т.д.
p1= x + a1;
p2= p1x + a2;
p3= p2x + a3;
………………. .
pn= pn - 1x + an, f (x) = pn
всего n-1 умножений и n сложений.
Схема Горнера настолько совершенна, что вопрос о возможности её улучшения не возникал два с половиной века и был задан "вслух" впервые лишь в 1954 году!
Можно сделать вывод, что применение алгебраических правил настолько универсальны, что могут применяться не только в точных науках, но и в повседневной нашей жизни. Как в указанных выше примерах:
передачи информации (радио, телефон, передача видеосигналов и т.д.).
Поэтому развитие науки, такой как алгебра, даёт нам огромную помощь в нашей жизни и продвижении вперёд вместе научно-техническим прогрессом. И хочется выразить огромную благодарность всем учёным, математикам, чей вклад был внесён в развитие этой науки.