Курсовая работа
Проекция геометрических объектов
Студент
Преподаватель
2009
Содержание
1. Использование метода секущих плоскостей для создания проекции пересечения поверхностей фигур
2. Использование метода секущих плоскостей для создания разветки пересечения поверхностей фигур
3. Построение изометрии взаимного пересечения поверхностей фигур
4. Создание фигуры с вырезом
5. Процесс создания опоры
6. Процесс создания стойки
1. Использование метода секущих плоскостей для создания проекции пересечения поверхностей фигур
Вспомогательные секущие плоскости применяют для построения линии пересечения поверхностей, которые пересекаются с этими плоскостями по графически простым линиям – прямым и окружностям. Такая возможность существует в трех случаях:
1.Если образующие (окружности) расположены в общих плоскостях уровня.
2.Если в общих плоскостях уровня оказываются прямолинейные образующие линейчатой поверхности и окружности циклической.
3.Линейчатые каркасы заданных поверхностей принадлежат общим плоскостям уровня или пучкам плоскостей общего положения.
При решении задач на построение линии пресечения поверхностей вспомогательные секущие плоскости обычно выбирают в виде плоскостей уровня – плоскостей параллельных плоскостям проекций. Как всегда в таких случаях, построение начинают с нахождения опорных точек линии, т.к. они позволяют видеть, в каких границах можно изменять положение вспомогательных секущих плоскостей. Произвольные же точки кривой строят с помощью указанного способа.
В данной работе пересекаются три поверхности – полусфера, цилиндр и призма.
Полусфера – половина сферы (Сфера радиуса R – множество точек пространства, равноудаленных от одной точки на положительное расстояние R.Сфера является фигурой вращения, т.е образована при вращении криволинейной образующей вокруг неподвижной оси).
Цилиндр - тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя выделившими ее сечениями – основаниями цилиндра.
Призма – многогранник, у которого две грани (основания) лежат в параллельных плоскостях, а все ребра вне этих граней параллельны между собой.
Линией пересечения поверхностей является множество точек, общих для данных поверхностей. При пересечении полусферы и цилиндра получается эллипс (эллипс – это плоская фигура, у которой для каждой точки сумма расстояний от двух фиксированных точек (фокусов) постоянна), а полусферы и призмы – плоская кривая (это кривая, точки которой не лежат на одной прямой).
Сначала рассмотрим взаимное пересечение полусферы и призмы. Из характера расположения поверхностей следует, что целесообразно применять секущие горизонтальные плоскости уровня. Сперва находим опорные точки прямой. При пересечении первой вспомогательной секущей плоскости ( ) получаем точку 1 . На плоскости П проводим окружность из центра полусферы радиусом равным расстоянию от оси полусферы до точки пересечения вспомогательной секущей плоскости с самой полусферой на плоскости П . При пересечении этой окружности и главного меридиана полусферы получим точку 1 . Аналогично получаем опорную точку 4 и 4 и произвольные точки 2 ,2 и 3 ,3 .( при пересечении вспомогательных секущих плоскостей – а П , а П , а П ). При соединении этих точек получаем плоские кривые, которые и являются линиями пересечения полусферы и конуса. Видимость будет ограничена точками 4 и 4 . Поэтому невидимую линию пересечения от точки 4 до точки 4 проводим пунктиром с помощью циркуля, так же как и невидимый контур полусферы, закрытый призмой. Для того что бы показать эту же линию пересечения на проекции П , нужно отметить точки 1 , 2 ,3 ,4 , которые лежат на параллельных линиях проекционной связи (из проекции П ) на расстоянии равном длине отрезка от оси полусферы до точек 1 ,2 ,3 ,4 на П . Несуществующий контур полусферы проводим тонкой линией.
Сейчас рассмотрим взаимное пересечение полусферы и цилиндра. Пересечением полусферы и цилиндра является пространственная кривая. Чтобы ее построить воспользуемся тем же методом вспомогательных секущих плоскостей. Опорными точками в данном случае будут являться точки 8 и 9 ,которые получаются при пересечении первой вспомогательной секущей плоскости – в П . Далее находим произвольные точки 5 ,6 и 7 с помощью секущих плоскостей в П ,в П ,в П . Так же как и в первом случае соединяем и получаем линию пересечения полусферы и цилиндра на плоскости П .Несуществующую линию полусферы проводим тонкой линией. Аналогично строим эллипс на проекции П с помощью линий проекционной связи. Видимость будет ограничена точками 5 и 5 .Невидимую часть эллипса проводим пунктиром, а несуществующий контур полусферы тонкой линией.
2. Использование метода секущих плоскостей для создания разветки пересечения поверхностей фигур
Для построения линии пересечения некоторых поверхностей нерационально использовать плоскости в качестве вспомогательных секущих поверхностей (посредников). Например, если пересекаются две поверхности вращения общего вида с пересекающимися осями, то никакие плоскости не помогут рассекать одновременно эти поверхности по линиям, которые проецировались бы в графически простые линии. В таких случаях целесообразно применять способ вспомогательных секущих сфер. В самом деле, сферы обладают большими преимуществами по сравнению с другими посредниками, так как на сфере можно взять бесчисленное множество окружностей и проекции сферы легко построить, что позволяет определить линию пересечения поверхностей с достаточной степенью точности.
Существует способ концентрических сфер и эксцентрических. Способ концентрических сфер применяют для построения линии пересечения двух поверхностей вращения с пересекающимися осями, а эксцентрических – для построения линии пересечения поверхностей вращения и циклических поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии.
Рассмотрим линию пересечения двух поверхностей вращения (цилиндра и конуса), которую будем находить способом концентрических сфер.
Цилиндр – тело вращения, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя выделившими ее сечениями – основаниями цилиндра.
Конус – тело вращения, состоящее из основания – плоской фигуры, ограниченной замкнутой линией(кривой или смешанной), вершины – точки, не лежащей в плоскости основания, и всех отрезков, соединяющих вершину со всевозможными точками основания.
Линией пересечения поверхностей является множество точек, общих для данных поверхностей. При пересечении конуса и цилиндра получается пространственная кривая.
Для того чтобы построить линию пересечения конуса и цилиндра способом вспомогательных секущих сфер сначала нужно вписать сферу максимального радиуса с центром, находящимся на пересечении осей тел вращения. Максимальным будет такой радиус, когда окружность будет проходить через наиболее удаленную точку пересечения тел. В данном случае мы имеем две опорные точки 1 и 2 .Точка 2 находится дальше от центра пересечения осей тел, значит, максимальная окружность будет проходить через нее. Затем проводим сферу минимального радиуса. Минимальным же будет радиус сферы, вписанной в большую по размеру поверхность. Для этого из центра пересечения осей тел вращения опускаем перпендикуляр к поверхности конуса и через эту точку проводим окружность. Она будет пересекать конус и цилиндр в двух точках. Соединим линиями точки пересечения у конуса и точки пересечения у цилиндра. На пересечении этих линий получим точку принадлежащую линии пересечения конуса и цилиндра. Для остальных промежуточных точек проводим вспомогательные сферы у которых Rmin < R < Rmax и аналогично находим еще несколько произвольных точек. Затем соединяем их плавной линией и получаем линию пересечения конуса и цилиндра. Несуществующий контур конуса проводим тонкой линией.
Далее переходим к развертке конуса. Представим поверхность в виде гибкой, тонкой нерастяжимой пленки. Оказывается, при таком условии некоторые поверхности можно, постепенно изгибая, совместить с плоскостью так, что при этом не будет разрывов и складок. Поверхности, обладающие указанными свойствами (многогранные, конические, цилиндрические, торсовые), называют развертывающимися, а фигуру, полученную от совмещения поверхности с плоскостью, - разверткой.
Развертки обладают следующими свойствами:
Длины двух соответственных линий развертки и поверхности равны между собой.
Углы, образованные линиями на поверхности, и углы между соответственными линиями на развертке также равны.
Замкнутая линия на поверхности и соответствующая ей линия на развертке ограничивают одинаковые площади, поэтому площадь развертки равна площади соответствующего отсека самой поверхности.
Из перечисленных свойств вытекают следующие следствия:
Следствие 1: Прямая на поверхности переходит в прямую на развертке.
Следствие 2: Параллельным прямым, лежащим на поверхности, соответствуют параллельные прямые на развертке.
Для построения развертки поверхности конуса, для начала перерисуем его без врезающегося цилиндра и с видимым основанием, которое делим на равные части с помощью циркуля раствором равным радиусу основания цилиндра. Отметим точки 1 , 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 .Чтобы найти точки, по которым нужно построить линию пересечения конуса и цилиндра, проводим образующие на которых они лежат, и на пересечении их с линиями проекционной связи получаем точки A ,B ,C ,D , F ,G .
Затем переходим к самой развертке. Развертка прямого конуса имеет форму кругового сектора, который мы чертим циркулем, раствор которого равен высоте конуса, и ограничиваем образующими с обеих сторон. Делим основание развертки конуса на равные части как на предыдущем рисунке, а на образующих находим точки, принадлежащие линии пересечения конуса и цилиндра, которые соединяем плавной линией.
3. Построение изометрии взаимного пересечения поверхностей фигур
Изометрическая проекция – аксонометрическая проекция, при которой длины единичных отрезков на всех трех осях одинаковы
По изображениям на комплексном чертеже легко реконструировать объект, решать позиционные и метрические задачи. Для усиления наглядности изображения применяют также аксонометрические чертежи, обладающие свойством обратимости.
Сначала начертим аксонометрическую систему координат. Угол между осями равен 120 . Все измерения берем с чертежа, соответственно осям координат. Сначала чертим полусферу. Откладываем по осям x и y одинаковое расстояние равное диаметру основания полусферы. Вписываем эллипс в получившийся квадрат, поднимаем из центра высоту, равную высоте полусферы. Обводим видимую часть толстой линией, а невидимую пунктиром.
Затем строим цилиндр, основания которого лежат к координатной плоскости XOY. Строим согласно его местоположению на комплексном чертеже. Для построения линии пересечения полусферы и цилиндра находим точки, лежащие на ней. Находим образующие, на которых они находятся, откладываем на определенной высоте, взятой с чертежа. Полученные точки соединяем плавной линией. Видимую часть цилиндра обводим толстой линией, а невидимую пунктиром.
Также находим местоположение призмы, основания которой лежат в плоскости XOZ, взяв размеры с чертежа. Для построения линии пересечения, так же как и в первом случае требуется найти точки, принадлежащие этой линии. Они находятся аналогично: на ближней грани откладывается расстояние между образующими. А на них откладывается расстояние, на котором лежит соответствующая точка. Таким образом, получившиеся точки 1, 2, 3, 4 соединяем плавной линией и получаем линию пересечения полусферы и призмы. Видимую часть обводим толстой линией, а невидимую пунктиром.
Таким образом мы получили наглядное изображение взаимного пересечения поверхностей ( полусферы, цилиндра и призмы).
4. Создание фигуры с вырезом
В данном задании требуется построить конус с вырезом, который образован четырьмя попарно параллельными плоскостями, две из которых лежат в координатной плоскости XOY, а две другие – в ZOY. Для того, чтобы построить этот вырез на проекции П воспользуемся ранее описанным методом вспомогательных секущих плоскостей. Опорными точками в данном случае будут точки 1 и 1 , 5 и 5 . Находим их на проекции П : они будут лежать на пересечении линии проекционной связи с окружностью, проведенной из центра основания конуса, радиусом равным расстоянию от оси конуса до крайней образующей. Аналогично получаем точки 2 , 3 , 4 . Невидимую часть выреза проводим пунктиром, а видимую обводим толстой линией, также как и основание конуса.
Чтобы найти точки, принадлежащие проекции выреза на плоскость П , нужно провести линии проекционной связи. На них отложить расстояние от оси конуса равное расстоянию на проекции П от диаметра основания до соответственных точек. Полученные точки соединяем плавной линией. Далее определяем видимость: невидимую часть выреза, проходящую внутри конуса, проводим пунктиром, а видимую – толстой линией.
Так же в данном задании требуется построить изометрию конуса с вырезом. Сначала начертим аксонометрическую систему координат. Угол между осями равен 120 . Все измерения берем с чертежа, соответственно осям координат. Строим конус в изометрии. Затем переходим к вырезу. Для того чтобы построить вырез для начала нужно провести эллипсы, в которых лежат основания этого выреза, на оси эллипса отмерить расстояния, на которых лежат опорные точки, провести прямые параллельные оси Y, и на них отложить расстояние равное длине отрезка от оси конуса до опорных точек на проекции П . Получили точки 1 и 5. Также находим остальные точки – 2, 3, 4. Аналогично простаиваем заднюю невидимую часть выреза пунктиром, а видимую обводим толстой линией. Также обводим контур конуса.
Таким образом, мы получили наглядное и