Реферат з курсу “Введение в численные методы”
Тема: “ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ”
Содержание
1. Метод последовательных приближений
2. Метод Гаусса-Зейделя
3. Метод обращения матрицы
4. Триангуляция матрицы
5. Метод Халецкого
6. Метод квадратного корня
Литература
1. Метод последовательных приближений
Наиболее распространенными методами применительно к большим системам являются итерационные методы, использующие разложение матрицы на сумму матриц, и итерационные методы, использующие факторизацию матрицы, т.е. представление в виде произведения матриц.
Простая итерация: уравнение 
приводится к виду 
, например, следующим образом:
,
где 
и 
содержат произвольную матрицу коэффициентов, по возможности желательно близкую к $IMAGE6$.
Если выбрать A=H+Q так, чтобы у положительно определенной H легко находилась $IMAGE7$, тогда исходная система приводится к следующему удобному для итераций виду:
$IMAGE8$ .
В этом случае, при симметричной матрице A и положительно определенной Q итерационный процесс сходится при любом начальном $IMAGE9$.
Если взять H в виде диагональной матрицы D= $IMAGE10$, в которой лишь на главной диагонали расположены ненулевые компоненты, то этот частный случай называется итерационным методом Якоби.
2. Метод Гаусса-Зейделя
Метод Гаусса-Зейделя отличается тем, что исходная матрица представляется суммой трех матриц:
$IMAGE11$.
Подстановка в и несложные эквивалентные преобразования приводят к следующей итерационной процедуре:
$IMAGE13$ .
Различают две модификации: одновременную подстановку и последовательную. В первой модификации очередная подстановка выполняется тогда, когда будут вычислены все компоненты нового вектора. Во второй модификации очередная подстановка вектора выполняется в тот момент, когда будет вычислена очередная компонента текущего вектора. В векторно-матричной форме записи последовательная подстановка метода Гаусса-Зейделя выглядит так:
$IMAGE14$ .
Вторая форма требует существенно меньшее число итераций.
3. Метод обращения матрицы
Эквивалентные преобразования матрицы в произведение более простых, приводящих к решению или облегчающих его получение, начнем с рассмотрения метода обращения матрицы. Так как в общем виде решение системы представляется через обратную матрицу в виде $IMAGE15$, то предположим, что
$IMAGE16$ ,
тогда, умножив справа равенство на матрицу A , получим
$IMAGE17$ .
Отсюда можно сделать вывод, что матрицы $IMAGE18$ должны последовательно сводить матрицу A к единичной. Если преобразующую матрицу выбрать так, чтобы только один ее столбец отличался от единичных векторов-столбцов, т.е. $IMAGE19$ , то вектор-столбец $IMAGE20$ можно сформировать таким, чтобы при умножении на текущую преобразуемую матрицу $IMAGE21$ в последней i-тый столбец превратился в единичный $IMAGE22$. Для этого берут
$IMAGE23$ и тогда $IMAGE24$.
Фактически это матричное произведение преобразует все компоненты промежуточной матрицы по формулам, применяемым в методе исключения Гаусса. Особенность этого процесса заключается в том, что диагональные элементы исходной и всех промежуточных матриц не должны быть нулевыми.
Кроме обратной матрицы, равной произведению всех T-матриц, теперь можно получать и решения уравнений для любого вектора в правой части.
4. Триангуляция матрицы
Разложение исходной матрицы на произведение двух треугольных матриц (триангуляция матрицы) не является однозначной. В соответствии с этим имеется несколько различных методов, привлекательных с той или иной стороны.
Сам способ формирования уравнений или формул для вычисления элементов треугольных матриц в различных методах практически одинаков: это метод неопределенных коэффициентов.
Различия возникают на стадии выбора условий разрешения полученных уравнений. Пусть
$IMAGE25$ ,
где $IMAGE26$ –
нижняя треугольная матрица,
$IMAGE27$ –
верхняя треугольная матрица.
Выполняя перемножения треугольных матриц и приравнивая получающиеся элементы соответствующим элементам исходной матрицы несложно для k-той строки и m-того столбца записать
$IMAGE28$ .
Полученная система состоит из $IMAGE29$ уравнений и содержит $IMAGE30$ неизвестных коэффициентов. За счет лишних n неизвестных существует свобода выбора, благодаря которой и имеется разнообразие методов разложения.
5. Метод Халецкого
Если положить $IMAGE31$, то разложение и последующее решение системы из двух векторно-матричных уравнений с треугольными матрицами называется методом Халецкого.
Элементы треугольных матриц L и U последовательно будут вычисляться по следующим формулам:
$IMAGE32$
Если исходная матрица симметричная, то от треугольных матриц можно потребовать, чтобы они были друг к другу транспонированными, т.е., например, $IMAGE33$ и $IMAGE34$ так, что $IMAGE35$. В этом случае элементы треугольных матриц находятся в соотношении $IMAGE36$ и, следовательно, число неизвестных уменьшается вдвое. В результате элементы треугольной матрицы могут вычисляться по следующим формулам:
$IMAGE37$
6. Метод квадратного корня
Использование разложения на взаимно транспонированные треугольные матрицы при решении систем алгебраических уравнений называется метод квадратного корня.
Метод разложения на транспонированные треугольные матрицы имеет модификацию, заключающуюся в выделении в произведении диагональной матрицы D с элементами на диагонали $IMAGE38$. Таким образом, для исходной матрицы, которая может быть и эрмитовой (симметричной и комплексно сопряженной), разыскивается произведение трех матриц: $IMAGE39$.
Каждое km-тое уравнение, определяется произведением k-того вектора-строки левой треугольной матрицы на диагональную матрицу, умноженную на m-тый столбец правой треугольной матрицы, и имеет вид:
$IMAGE40$ .
Для однозначного разложения, учитывая комплексную сопряженность симметричных элементов треугольных матриц, в первом уравнении (i=1), имеющем вид $IMAGE41$, полагают $IMAGE42$. В этом случае
$IMAGE43$ .
Аналогично, отделяя знак диагонального элемента диагональной матрицы от его модуля, можно получить формулы для вычисления $IMAGE44$:
$IMAGE45$
Литература
1. Хеннер Е. К., Лапчик М. П., Рагулина М. И. Численные методы. Изд-во: "Академия/Academia", 2004. – 384c.
2. Бахвалов И. В. Численные методы. БИНОМ, 2008. – 636c.
3. Формалев В. Д., Ревизников Д. Л. Численные методы. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2004. – 400c.