База рефератов

Ãîñóäàðñòâåííûé êîìèòåò Ðîññèéñêîé Ôåäåðàöèè ïî âûñøåìó îáðàçîâàíèþ

Ñàðàòîâñêèé îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Í.Ã.×åðíûøåâñêîãî

Êàôåäðà ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà

ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅ ÍÀÈËÓ×ØÈÕ ÏÐÈÁËÈÆÅÍÈÉ ÍÅÏÐÅÐÛÂÍÛÕ ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÈÕ ÔÓÍÊÖÈÉ ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÌÈ ÏÎËÈÍÎÌÀÌÈ

ÄÈÏËÎÌÍÀß ÐÀÁÎÒÀ

ñòóäåíòêè 524 ãðóïïû ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà

×óðêèíîé Ëþáîâè Âàñèëüåâíû

Íàó÷íûé ðóêîâîäèòåëü

ê.ô.-ì.í, äîöåíò

Òèìîôååâ Â. Ã.

Çàâåäóþùèé êàôåäðîé

äîêòîð ô.-ì.í., ïðîôåññîð

Ïðîõîðîâ Ä.Â.

ã.Ñàðàòîâ-1996 ã.

Оглавление.

Введение

Дипломная работа посвящена исследованию наилучших приближений непрерывных периодических функций тригонометрическими полиномами. В ней даются необходимые и достаточные условия для того, чтобы наилучшие приближения имели заданный (степенной) порядок убывания.

Дипломная работа носит реферативный характер и состоит из “Введения” и восьми параграфов.

В настоящей работе мы рассматриваем следующие задачи:

При каких ограничениях на непрерывную функцию F(u) (-1  u  +1) её наилучшие приближения En [F;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок (n-1 )?

При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию f (x) её наилучшее приближение En[f] тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок (n-1 )?

Подстановка u=cos(x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать лишь задачу 2.

Мы ограничимся случаем, когда  N , для некоторого  , где  - функция сравнения р-го порядка и для 0<<

С.Н.Бернштейн, Д.Джексон и Ш.Валле-Пуссен получили зависимости между оценками сверху для En[f] и дифференциальными свойствами f. Некоторые дополнения к их теоремам доказаны А.Зигмундом. нам предстоит, поэтому, получить зависимости между дифференциальными свойствами f и оценками En[f] снизу. Впервые задачами типа 1 занимался С.Н.Бернштейн. А именно, им получено ассимптотическое равенство:

,

где  - некоторое число.

Наша основная теорема формулируется следующим образом:

Пусть  N Для того чтобы

необходимо, чтобы для любого натурального k>, и достаточно, чтобы для некоторого натурального k>

где

Изложим теперь кратко содержание каждого из параграфов работы.

В §1 даётся ряд вспомогательных определений, которые понадобятся в дальнейшей работе.

В §2 выводятся основные свойства модулей непрерывности высших порядков. Почти все эти свойства используются в дальнейшем тексте.

§3 посвящен обобщению теоремы Джексона. Как известно, Джексон доказал следующую теорему: если f имеет непрерывную r-ую производную f (r) , то

Таким образом, теорема Джексона дает оценку сверху для наилучших приближений, если известны дифференциальные свойства аппроксимируемой функции.

В 1947 г. появилась работа С.Н.Бернштейна [1]. Одна из теорем этой работы содержит в качестве следствия такое предложение: пусть

Тогда

В §3 доказываем:

(*)

В §4 формулируется доказанное в работе С.Б.Стечкина [2] обобщение известного неравенства С.Н.Бернштейна [3], [4] для производных от тригонометрического полинома. Мы приводим затем ряд следствий из нашего неравенства (*). Они играют существенную роль при доказательстве теорем §5.

В §5 рассматривается следующая задача. Пусть тригонометрический полином tn , близок в равномерной метрике к заданной функции f или последовательность полиномов {tn} достаточно хорошо аппроксимирует заданную функцию f. Как связаны тогда дифференциальные свойства f с дифференциальными свойствами tn?

Если tn , образуется из f посредством регулярного метода суммирования рядов Фурье, то ответ тривиален: для того чтобы , необходимо и достаточно, чтобы равномерно относительно n. (fHk[], если ).

Оказывается, что этот результат сохраняется и для полиномов наилучшего приближения: для того, чтобы равномерно относительно n.

Отметим еще один результат параграфа: для того чтобы , необходимо и достаточно чтобы

.

§6 посвящён “обратным теоремам” теории приближения.

Известно предложение: пусть

.

Тогда, если  не целое, r=[], =-r, то f имеет нерперывную производную .

Случай целого рассмотрен Зигмундом. В этом случае

.

Нетрудно показать, что эти два предложения эквивалентны следующему: пусть 0<<k и

.

Тогда

.

В работе [3] С.Н.Бернштейн доказал также эквивалентность условий и .

Мы переносим эти теоремы на условия вида

,

где  N

Кроме того, в этом параграфе доказано, например, такое предложение: пусть k - натуральное число и

;

для того, чтобы , необходимо и достаточно выполнение условия

.

В конце параграфа даются уточнения теорем Валле-Пуссена.

В §7 доказывается основная теорема. Мы даём здесь же оценку En[f] снизу, если

.

Именно, тогда

Случай =0 установлен С.Н.Бернштейном [3].

В §8 мы рассматриваем несколько решений задач с использованием различных модулей непрерывности.

§1. Некоторые вспомогательные определения.

В работе рассматриваются непрерывные функции f с периодом 2 и их приближение тригонометрическими полиномами. Через tn(x) обозначается тригонометрический полином порядка не выше n, а через tn*(x)=tn*(x,f)-тригонометрический полином, наименее уклоняющийся от f среди всех tn(x

и h>

и h>

, если найдётся константа С10>

Определение 10. Зафиксируем число >

2) удовлетворяет условию: существует константа С11>

n2k-1, т.е. существуют постоянные С14>0 и С15>

г) При любом >

Тогда для любого >

Тогда для любого >

Тогда существует такая константа с>

Доказательство. Согласно (7.1), найдутся две такие константы С60>0 и C61>

с С73>

где С77>