ПОТРІЙНИЙ ІНТЕГРАЛ
1. Поняття потрійного інтеграла. Умови його існування та властивості
Схема побудови потрійного інтеграла така сама, як і звичайного визначеного інтеграла та подвійного інтеграла.
Нехай функція 
визначена в обмеженій замкненій області 
. Розіб'ємо область 
сіткою поверхонь на 
частин 
, які не мають спільних внутрішніх точок і об'єми яких дорівнюють $IMAGE6$. У кожній частині візьмемо довільну точку $IMAGE8$ і утворимо суму
$IMAGE9$,(1)
яка називається інтегральною сумою для функції $IMAGE10$ за областю . Нехай $IMAGE12$ – найбільший з діаметрів областей .
Якщо інтегральна сума (1) при $IMAGE14$ має скінченну границю, яка не залежить ні від способу розбиття області на частини , ні від вибору в них точок $IMAGE17$, то ця границя називається потрійним інтегралом і позначається одним із таких символів:
$IMAGE18$ або $IMAGE19$.
Таким чином, за означенням
$IMAGE20$,(2)
де $IMAGE10$ – функція, інтегровна в області ; – область інтегрування; $IMAGE24$ і $IMAGE25$– змінні інтегрування; $IMAGE26$ (або $IMAGE27$) – елемент об'єму.
Якщо по тілу розподілено масу з об'ємною густиною $IMAGE29$ в точці $IMAGE30$, то маса $IMAGE31$ цього тіла знаходиться за формулою
$IMAGE32$. (3)
Формула (3) аналогічна формулі (1.8) і може розглядатися як механічний зміст потрійного інтеграла, коли підінтегральна функція невід'ємна в області . Якщо всюди в області покласти $IMAGE34$, то з формули (2) випливає формула для обчислення об'єму $IMAGE35$ тіла :
$IMAGE37$.(4)
Потрійний інтеграл є безпосереднім узагальненням подвійного інтеграла на тривимірний простір. Теорія потрійного інтеграла аналогічна теорії подвійного інтеграла, тому в більшості випадків ми обмежимося лише формулюваннями тверджень і короткими поясненнями.
Теорема (достатня умова інтегровності функції). Якщо функція $IMAGE10$ неперервна в обмеженій замкненій області , то вона в цій області інтегрована.
Властивості потрійних інтегралів.
1. Сталий множник можна винести за знак потрійного інтеграла:
$IMAGE40$.
Потрійний інтеграл від суми кількох інтегровних функцій дорівнює сумі потрійних інтегралів від доданків:
$IMAGE41$.
3. Якщо в області інтегрування $IMAGE42$, то
$IMAGE43$.
4. Якщо функції $IMAGE10$ та $IMAGE45$ визначені в одній і тій самій області і $IMAGE47$, то
$IMAGE48$.
5. (Адитивність потрійного інтеграла.) Якщо область інтегрування функції $IMAGE10$ розбити на частини $IMAGE51$ і $IMAGE52$, які не мають спільних внутрішніх точок, то
$IMAGE53$.
6. (Оцінка потрійного інтеграла.) Якщо функція $IMAGE10$ неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм $IMAGE35$, то
$IMAGE57$,
де $IMAGE31$ і $IMAGE59$ відповідно найменше і найбільше значення функції $IMAGE10$ в області .
7. (Середнє значення функції.) Якщо функція $IMAGE10$ неперервна в обмеженій замкненій області , яка має об'єм $IMAGE35$, то в цій області існує така точка $IMAGE65$, що
$IMAGE66$.
Величина
$IMAGE67$
називається середнім значенням функції $IMAGE10$ в області .
2. Обчислення потрійного інтеграла
Обчислення потрійного інтеграла зводять до обчислення повторних, тобто до інтегрування за кожною змінній окремо.
Нехай область $IMAGE70$ обмежена знизу і зверху поверхнями $IMAGE71$ і $IMAGE72$, а з боків циліндричною поверхнею, твірні якої паралельні осі $IMAGE73$. Позначимо проекцію області на площину $IMAGE75$ через $IMAGE70$ (рис. 1) і вважатимемо, що функції $IMAGE77$ і $IMAGE78$ неперервні в $IMAGE70$.
$IMAGE80$
Рисунок 1 – Область
Якщо при цьому область $IMAGE70$ є правильною, то область називається правильною у напрямі осі $IMAGE73$. Припустимо, що кожна пряма, яка проходить через кожну внутрішню точку $IMAGE85$ паралельно осі $IMAGE73$, перетинає межу області у точках $IMAGE59$ і $IMAGE89$. Точку $IMAGE59$ назвемо точкою входу в область $IMAGE91$ , а точку $IMAGE89$ – точкою виходу з області , а їхні аплікати позначимо відповідно через $IMAGE95$ і $IMAGE96$. Тоді $IMAGE97$, $IMAGE98$ і для будь-якої неперервної в області $IMAGE99$ функції $IMAGE10$ має місце формула
$IMAGE101$.(5)
Зміст формули (5) такий. Щоб обчислити потрійний інтеграл, потрібно спочатку обчислити інтеграл $IMAGE102$ за змінною $IMAGE25$, вважаючи $IMAGE104$ та $IMAGE105$ сталими. Нижньою межею цього інтеграла є апліката точки $IMAGE59$ входу $IMAGE97$, а верхньою – апліката $IMAGE98$точки виходу $IMAGE89$. Внаслідок інтегрування отримаємо функцію $IMAGE110$ від змінних $IMAGE104$ та $IMAGE105$.
Якщо область $IMAGE70$, наприклад, обмежена кривими $IMAGE114$ і $IMAGE115$ $IMAGE116$, де $IMAGE117$ і $IMAGE118$ – неперервні функції, тобто
$IMAGE119$, то, переходячи від подвійного інтеграла $IMAGE120$ до повторного (п. 1.3), отримаємо формулу
$IMAGE121$,(6)
яка зводить обчислення потрійного інтеграла до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів. Порядок інтегрування може бути й іншим, тобто змінні $IMAGE24$ і $IMAGE25$ у правій частині формули (6) за певних умов можна міняти місцями.
Якщо, наприклад, область правильна в напрямі осі $IMAGE125$:
$IMAGE126$,
де $IMAGE127$ – неперервні функції, то
$IMAGE128$.
Зокрема, якщо областю інтегрування є паралелепіпед:
$IMAGE129$,
то
$IMAGE130$. (7)
У цьому разі інтегрування виконується в будь-якому порядку, оскільки область правильна у напрямі всіх трьох координатних осей $IMAGE132$.
3. Заміна змінних в потрійному інтегралі
Заміну змінної в потрійному інтегралі виконують за таким правилом: якщо обмежена замкнена область взаємно однозначно відображується на область $IMAGE134$ за допомогою неперервно диференційовних функцій $IMAGE135$, $IMAGE136$, $IMAGE137$, якобіан $IMAGE138$ в області $IMAGE134$ не дорівнює нулю:
$IMAGE140$
і $IMAGE10$ – неперервна в , то справедлива формула
$IMAGE143$. (8)
На практиці найуживанішими є циліндричні та сферичні координати. При переході від прямокутних координат $IMAGE144$ до циліндричних $IMAGE145$ (рис.4, а), пов'язаних з $IMAGE144$співвідношеннями
$IMAGE147$;
$IMAGE148$,
якобіан перетворення
$IMAGE149$.
З формули (8) отримуємо потрійний інтеграл у циліндричних координатах:
$IMAGE150$.(9)
Назва «циліндричні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня $IMAGE151$ є циліндром, прямолінійні твірні якого паралельні осі $IMAGE73$.
При переході від прямокутних координат $IMAGE144$ до сферичних $IMAGE154$
(рис. 4, б), які пов'язані з $IMAGE144$ формулами
$IMAGE156$
Рисунок 4 – Координати: а) циліндричні; б) сферичні
$IMAGE157$;
$IMAGE158$,
якобіан перетворення
$IMAGE159$.
З формули (8) знаходимо потрійний інтеграл у сферичних координатах:
$IMAGE160$. (10)
Назва «сферичні координати» пов'язана з тим, що координатна поверхня $IMAGE151$ є сферою. При обчисленні потрійного інтеграла в циліндричних чи сферичних координатах область $IMAGE134$, як правило, не будують, а межі інтегрування знаходять безпосередньо за областю , користуючись геометричним змістом нових координат. При цьому рівняння поверхонь $IMAGE77$ та $IMAGE78$, які обмежують область , записують у нових координатах.
Зокрема, якщо область обмежена циліндричною поверхнею $IMAGE168$ та площинами $IMAGE169$, то всі межі інтегрування в циліндричній системі координат сталі:
$IMAGE170$
і не змінюються при зміні порядку інтегрування. Те саме буде у сферичних координатах у випадку, коли – куля: $IMAGE172$ або кульове кільце. Наприклад, якщо – кульове кільце з внутрішньою сферою $IMAGE174$, то рівняння цієї сфери в сферичних координатах має вигляд
$IMAGE175$
або
$IMAGE176$,
звідки $IMAGE177$. Аналогічно $IMAGE178$ – рівняння зовнішньої сфери, тому
$IMAGE179$.
У випадку, коли – куля $IMAGE172$, у цій формулі слід покласти $IMAGE182$. Інших будь-яких загальних рекомендацій, коли необхідно переходити до тієї чи іншої системи координат, дати неможливо. Це залежить і від області інтегрування, і від підінтегральної функції. Іноді потрібно написати інтеграл у різних системах координат і лише після цього вирішити, в якій з них обчислення буде найпростішим.
Приклад
1. Обчислити інтеграл $IMAGE183$, якщо область обмежена поверхнями $IMAGE185$ і $IMAGE186$.
Розв’язання
Область є конусом (рис. 5).
$IMAGE188$
Рисунок 5 – Область
Рівняння конічної поверхні, яка обмежує область , можна записати у вигляді $IMAGE191$, а саму область подати таким чином: $IMAGE193$, де $IMAGE70$ – круг радіуса $IMAGE195$ з центром $IMAGE196$. Тому даний потрійний інтеграл можна звести до послідовного обчислення трьох визначених інтегралів у прямокутних координатах:
$IMAGE197$.
Проте зручніше перейти до циліндричних координат $IMAGE198$. Тоді прообраз круга $IMAGE70$ є прямокутник $IMAGE200$, прообраз конічної поверхні – плоска поверхня $IMAGE201$, а прообраз області – область $IMAGE134$. Якобіан переходу до циліндричних координат дорівнює $IMAGE204$, підінтегральна функція в циліндричних координатах дорівнює $IMAGE205$. Зводячи потрійний інтеграл за областю $IMAGE134$ до послідовного обчислення трьох визначних інтегралів, отримаємо
$IMAGE207$
$IMAGE208$
Зазначимо, що розставлення меж інтегрування в циліндричних координатах, як правило, виконують, розглядаючи не область $IMAGE134$, а зміну циліндричних координат в області . Наочно видно, що в області $IMAGE70$ змінна $IMAGE212$ змінюється від $IMAGE213$ до $IMAGE214$, при кожному значенні $IMAGE212$ змінна $IMAGE204$ змінюється від $IMAGE213$ до $IMAGE195$, а для кожної точки $IMAGE219$ області $IMAGE70$ змінна $IMAGE25$ змінюється в області від $IMAGE213$ (значення $IMAGE25$ в області $IMAGE70$) до $IMAGE226$ (значення $IMAGE25$ на конічній поверхні).
4. Деякі застосування потрійного інтеграла
інтеграл потрійний обчислення змінний
1. Обчислення об'ємів. Якщо деяке тіло є обмеженою і замкненою
областю , що має об'єм $IMAGE35$, то згідно з формулою (4)
$IMAGE37$.(11)
Застосування у механіці. Нехай – обмежена замкнена область простору $IMAGE232$, яку займає деяке матеріальне тіло з густиною $IMAGE29$, де $IMAGE234$ – неперервна функція в області , тоді:
а)маса цього тіла
$IMAGE236$;(12)
б)моменти інерції $IMAGE237$ тіла відносно координатних осей $IMAGE132$ відповідно дорівнюють
$IMAGE239$. (13)
Моменти інерції $IMAGE240$ тіла відносно координатних площин $IMAGE241$ обчислюються за формулами
$IMAGE242$.(14)
Момент інерції тіла відносно початку координат
$IMAGE243$ $IMAGE91$(15)
в) статичні моменти $IMAGE245$тіла відносно координатних площин $IMAGE241$ обчислюються за формулами
$IMAGE247$;(16)
г) координати $IMAGE248$ центра маси тіла визначаються за формулами
$IMAGE249$. (17)
Доведення формули (11), як уже зазначалося, випливає з означення потрійного інтеграла:
$IMAGE250$.