База рефератов

Курсовая работа

Выполнила студентка  II курса группы ПМИ Решоткина Наталья Николаевна

Мурманский Государственный Педагогический Университет

Мурманск 2007

Введение

При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Цель данной работы: теоретическое обоснование и необходимость практического применения теоремы Коши-Бине:

Пусть , -  и -матрицы соответственно, и

Тогда

Другими словами, при  определитель матрицы  является суммой произведений всевозможных миноров порядка  в  на соответствующие миноры матрицы  того же самого порядка

Работа состоит из четырех глав, содержит заключение, список литературы и приложение программы для теоремы Коши-Бине. В главе I рассматриваются элементы линейной алгебры – матрицы, операции над матрицами и свойства сложения матриц, и умножения на скаляр. Глава II посвящается умножению матриц и его свойств, а также транспонирование произведения двух матриц. В главе III рассматриваются обратимые и элементарные матрицы. В главе IV вводиться понятие определителя квадратной матрицы, рассматриваются свойства и теоремы об определителях, а также приводится доказательство теоремы Коши-Бине, что является целью моей работы. В дополнение прилагается программа показывающая механизм нахождения определителя произведения двух матриц.

Глава I

§ 1 Определение, обозначения и типы матриц

Мы определяем матрицу как прямоугольную таблицу чисел:

Где элементы матрицы aij (1≤i≤m, 1≤j≤n)-числа из поля .Для наших целей поле  будет либо множеством всех вещественных чисел, либо множеством всех комплексных. Размер матрицы , где m-число строк, n-число столбцов. Если m=n, то говорят, что матрица квадратная, порядка n. В общем случаем матрица называется прямоугольной.

Каждой  матрице  с элементами aij соответствует n×m матрица с элементами aji . Она называется транспонированной к  и обозначается через . Видно, что = . Строки матрицы  становятся столбцами в  и столбцы матрицы  становятся строками в .

Матрица называется нулевой если все элементы равны 0:

Матрица называется треугольной если все ее элементы, расположенные ниже главной диагонали равны 0

Треугольная матрица называется диагональной, если все элементы расположенные вне главной диагонали равны 0

Диагональной матрица называется единичной, если все элементы расположенные на главной диагонали равны 1

Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечении нескольких выбранных строк матрицы  и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей для матрицы . Если -номера выбранных строк и -номера выбранных столбцов, то субматрица это

В частности, строки и столбцы матрицы можно рассматривать как ее субматрицы.

§2 Операции над матрицами

Определим следующие операции:

Сумма двух  матриц , и  с элементами  и есть  матрица С с элементами , запишем это как

Произведение матрицы  на число поля есть матрица С с элементами , запишем как .

Произведение  матрицы на матрицу есть матрица С с элементами , запишем

 поле скаляров, рассмотрим , где элемент матрицы , расположенный в -строке , -столбце . Размерность матрицы .Если , то -квадратная матрица порядка . Множество -это множество всех  матриц над полем .

Опр. Две матрицы равны, если они имеют одинаковую размерность и на одинаковых местах расположены одинаковые элементы. Другими словами:  равна матрице , т.е

Опр. Пусть -это матрицы одинаковой размерности

If InMass.N <>

if A.Mass[j, i] <>

if A.Mass[j, i] <>

If (MassA.M >

Begin //попали под условие, когда М>

ResultMemo.Lines.Add('m >

//If (MassB.M >

// Begin //попали под условие, когда М>

// ResultMemo.Lines.Add('m >

If (MassA.M < MassA.N) And (MassB.M >

end;{If (MassA.M < MassA.N) And (MassB.M >

If InMass.M <>

If I <>

If J <>

end;{If J <>

end;{If I <>

If InMass.M <>

If MassPer.Mass[I, j] >

While Length(InStr) >

If N <>

end {If N <>

If Length(InStr)>

end; {If Length(InStr)>

If (Row = 0) And (Length(RezStr)<>

While Length(InStr) >

If N <>

end {If N <>

If Length(InStr)>

end; {If Length(InStr)>