Вятский Государственный Гуманитарный Университет
Кафедра математического анализа и МПМ
Выпускная квалификационная работа
Операторы проектирования.
Выполнил студент 5курса
математического факультета
Лежнин В.В.
/подпись/
Научный руководитель:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Гукасов А.К.
/подпись/
Рецензент:
Старший преподаватель кафедры математического анализа и МПМ
Подгорная М.И.
/подпись/
Зав. кафедрой М.В. Крутихина
$IMAGE6$ /подпись/ << >>
$IMAGE8$ $IMAGE9$ /подпись/ << >>
Киров
2003
Оглавление.
Введение. 2
Часть I. Основные понятия и предложения. 2
Часть II. Дополняемость в гильбертовых пространствах. 10
Часть III. Задача о дополняемости. 13
Литература. 15
Введение.
В данной работе рассматриваются операторы проектирования, которые являются частным случаев линейных операторов, их некоторые свойства, и рассматривается вопрос: как с помощью операторов проектирования можно выяснить дополняемо множество или нет. Так же освящается тема дополняемости в гильбертовых пространствах. Попутно для рассмотрения предлагаются некоторые определения и факты, на которые опираются нужные нам утверждения. К самостоятельно выполненным заданиям относятся доказательство замкнутости ядра (стр. 6, предложение 2), формула изменения коэффициентов Фурье при сдвиге на некоторое вещественное число и решение задачи о дополняемости.
Часть I. Основные понятия и предложения.
Определение. Метрику d на векторном пространстве X будем называть инвариантной, если d(x+z,y+z)=d(x,y), для любых x,y,z из X.
Определение. Пусть d – метрика на множестве X. Если каждая последовательность Коши сходится в X к некоторой точке, то d называется полной метрикой на X.
Определение. Векторное пространство X называется нормированным пространством, если каждому элементу x из X сопоставлено неотрицательное вещественное число $IMAGE10$, именуемое нормой x, и выполняются следующие условия:
1. $IMAGE11$ £ $IMAGE10$+ $IMAGE13$ "x, yÎX.
2. $IMAGE14$ = $IMAGE15$ $IMAGE10$ "xÎX, "a - скаляра.
3. $IMAGE10$ > 0, если x¹0.
Примеры нормированных пространств.
1) l $IMAGE18$ - нормированное пространство, в котором элементы – последовательности комплексных чисел x=(x $IMAGE19$, …,x $IMAGE20$, …), удовлетворяющие условию $IMAGE21$ <¥,
норма в таком пространстве определяется $IMAGE22$;
2) L $IMAGE18$(0,1) - нормированное пространство, состоящее из функций с интегрируемым квадратом на интервале (0, 1), удовлетворяющее условию $IMAGE24$dx < ¥, и норма определена как $IMAGE25$ = $IMAGE26$.
3) С $IMAGE27$[0, 2p] – пространство непрерывных 2p периодических функций на отрезке [0, 2p]. Норма в нем определяется $IMAGE25$ = $IMAGE29$
Определение. Пусть X, Y – два топологических линейных пространства. Линейным оператором, действующим из X в Y, называется отображение y = Ax, где x принадлежит X, а y принадлежит Y, удовлетворяющее условию
A(ax $IMAGE19$+bx $IMAGE31$) = aAx $IMAGE19$+bAx $IMAGE31$.
Определение. Оператор A называется непрерывным в точке x $IMAGE34$ области определения, если для любой окрестности V точки y $IMAGE34$= Ax $IMAGE34$ существует такая окрестность U точки x $IMAGE34$, что Ax принадлежит V, как только x принадлежит пересечению области определения и U. Оператор A называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке области определения.
Определение. Линейный оператор, действующий из Е в Е $IMAGE19$, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное.
Предложение 1. Всякий непрерывный линейный оператор ограничен.
Доказательство.
Пусть М – подмножество ограниченного множества Е, а подмножество АМ множества Е $IMAGE19$ не ограничено. Тогда в Е $IMAGE19$ найдется такая окрестность нуля V, что ни одно из множеств $IMAGE41$АМ не содержится в V. То тогда существует такая последовательность х $IMAGE20$ из М, что ни один из элементов $IMAGE41$Ах $IMAGE20$ не принадлежит V, и получается, что $IMAGE41$х $IMAGE20$ ® 0 в Е, но последовательность { $IMAGE41$Ах $IMAGE20$} $IMAGE49$не сходится к 0 в Е $IMAGE19$, а это противоречит непрерывности оператора А.
В нормированных пространствах определение ограниченности линейных операторов можно сформулировать так: оператор А ограничен, если существует такая постоянная С, что для всякого f из Е
$IMAGE51$.
Наименьшее из чисел С, удовлетворяющее этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается $IMAGE52$.
Определение. Пусть X - векторное пространство. Линейное отображение P:X → X называется проектором в пространстве X, если $IMAGE53$, т.е. P(P(x)) = Px для любого элемента x из X.
Свойства проекторов.
Пусть P проектор в X с ядром N(P) и образом R(P).
1. R(P) = N(I-P) = {xÎX, Px = x}, где I – тождественное отображение;
2. R(P)ÇN(P) = {0} и X = R(P)+N(P);
Доказательство 1.
а) Так как (I-P)P = IP- $IMAGE54$ = P-P = 0, то R(P) содержится в N(I-P);
б) Если x принадлежит N(I-P), то x-Px = 0, следовательно, x = Px принадлежит R(P), значит N(I-P) содержится в R(P);
Таким образом, из а) и б) следует, что R(P) = N(I-P).
Доказательство 2.
Если x принадлежит пересечению R(P) и N(P), то x=Px=0, а следовательно, R(P) и N(P) пересекаются по {0};
Для любого x из X можно представить в виде x=Px+(x-Px), где Px принадлежит R(P) и x-Px принадлежит N(P), значит X=R(P)+N(P);
Определение. М – замкнутое подпространство топологического векторного пространства X. Если в X существует такое замкнутое подпространство N, что X=M+N и MÇN={0}, то говорят, что М дополняемо в X и что X является прямой суммой подпространств X=MÅN.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется F-пространством, если топология порождается некоторой полной инвариантной метрикой.
Теорема o замкнутом графике.
Предположим, что X и Y являются F-пространствами, отображение Т:X→Y линейно и множество G={(x, Tx): xÎX} (его график) замкнуто в X´Y. Тогда Т – непрерывно.
Предложение 2. Пусть Ù - линейный функционал на топологическом векторном пространстве X. Допустим, что Ùx ¹0 для некоторого x из X.
Тогда если Ù непрерывен, то ядро N(Ù) замкнуто в X.
Доказательство.
Так как N(Ù) = Ù $IMAGE55$({0}), а {0} – замкнутое множество поля скаляров (как любое одноточечное подмножество), то тогда непрерывность Ù влечет замкнутость ядра (как прообраз замкнутого множества при непрерывном отображении).
Теорема 1.
а) Если Р – непрерывный проектор в топологическом векторном пространстве X, то X представляется в виде прямой суммы подпространств X=R(P)ÅN(P);
б) Обратно: если Х является F-пространством и X представляется в виде прямой суммы подпространств Х=АÅВ, то проектор Р с образом А и ядром В непрерывен.
Доказательство:
а) Так как Р и I-P непрерывны, то подпространства N(P) и R(P)=N(I-P) замкнуты (см. предложение 2), значит по второму свойству проекторов X=R(P)ÅN(P);
Чтобы доказать б) достаточно проверить, что проектор Р удовлетворяет условиям теоремы о замкнутом графике .
Пусть последовательности x $IMAGE20$→x и Px $IMAGE20$→y.
Так как Px $IMAGE20$ принадлежит А, А – замкнуто, следовательно y принадлежит A, а значит y = Py.
Аналогично x $IMAGE20$- Px $IMAGE20$ принадлежит В, В – замкнуто, следовательно x-y принадлежит B, значит Py = Px поэтому y = Px. Получили, что точка (x, y) принадлежит G (см. теорему о замкнутом графике). Отсюда вытекает, что проектор Р непрерывен.
Определение. Топологической группой называется группа G, снабженная такой топологией, относительно которой групповые операции в G непрерывны.
Расшифровка этого определения состоит в том, что постулируется непрерывное отображение j:G´G®G, определенного равенством: j(x,y)=xy $IMAGE61$.
Определение. Топологическая группа G, топология которой компактна, называется компактной группой.
Определение. Топологическое векторное пространство X называется локально выпуклым, если в нем всякое непустое открытое множество содержит непустое выпуклое открытое подмножество.
Определение. Пространство X называется пространством Фреше , если оно является локально выпуклым F-пространством.
Определение. Предположим, что топологическое векторное пространство X и топологическая группа G связаны следующим образом: кждому элементу s из G сопоставлен непрерывный линейный оператор T $IMAGE62$:X®X, причем
T $IMAGE63$ = T $IMAGE62$T $IMAGE65$, где s, t принадлежат G
и отображение (s, x) ® T $IMAGE62$x прямого произведения G´X в пространстве X непрерывно. В этом случае говорят, что группа G непрерывно и линейно действует в пространстве X.
Теорема 2.
Пусть Y – дополняемое подпространство Фреше Х, и пусть компактная группа G непрерывна и линейно действует на Х, причем Т $IMAGE67$(Y)ÌY для любого sÎG. Тогда существует непрерывный проектор Q пространства Х на подпространство Y, коммутирующий со всеми операторами Т $IMAGE67$.
Лемма Фату. Пусть на множестве E задана последовательность измеримых, почти всюду конечных функций f $IMAGE20$ (x), которая сходится по мере к некоторой почти всюду конечной функции f . Тогда
$IMAGE70$dm £ $IMAGE71$ $IMAGE72$dm
Пример недополняемого подпространства.
Рассмотрим подпространство Y=H $IMAGE73$ пространства Х=L $IMAGE73$, где L $IMAGE73$- пространство всех суммируемых функций на комплексной плоскости, а H $IMAGE73$ состоит из всех функций L $IMAGE73$, для которых $IMAGE78$(n)=0, при всех n<0. $IMAGE78$(n) обозначает n-ый коэффициент Фурье функции f и вычисляется:
$IMAGE78$(n)= $IMAGE81$e $IMAGE82$dx, (n=0, $IMAGE83$1, $IMAGE83$2, …). (1)
(для простоты обозначается: f(x)=f(e $IMAGE85$ )).
В качестве группы G возьмем мультипликативную группу всех комплексных чисел, по модулю равных 1, и сопоставим каждому элементу
e $IMAGE85$ÎG оператор сдвига t $IMAGE67$, полагая, что
(t $IMAGE67$f)(x) = f(x+s), где s – некоторое вещественное число. (2)
Теперь посмотрим, как изменяются коэффициенты Фурье при таком сдвиге: ( $IMAGE89$)(n) = $IMAGE49$ $IMAGE91$ $IMAGE92$e $IMAGE82$dx.
Произведем замену: x+s = t Þ x = t-s. Тогда
( $IMAGE89$)(n)= $IMAGE95$e $IMAGE96$d(t-s) =
= $IMAGE95$e $IMAGE98$e $IMAGE99$dt=e $IMAGE99$ $IMAGE95$e $IMAGE98$dt=e $IMAGE99$ $IMAGE78$(n),
то есть (t $IMAGE67$f) $IMAGE106$(n)= e $IMAGE99$ $IMAGE78$(n). (3).
Так как e $IMAGE99$ÎG, то t $IMAGE67$(H $IMAGE73$) = H $IMAGE73$ для любого вещественного s.
Если бы подпространство H $IMAGE73$ было дополняемо в L $IMAGE73$, то из Т2. следовало бы существование такого непрерывного проектора Q пространства L $IMAGE73$ на H $IMAGE73$, что t $IMAGE67$Q = Qt $IMAGE67$ для любого вещественного s. (4).
Найдем вид проектора. Положим e $IMAGE20$(x)=e $IMAGE120$. Тогда t $IMAGE67$e $IMAGE20$=e $IMAGE120$e $IMAGE20$, а так как оператор Q линеен, то
Qt $IMAGE67$e $IMAGE20$ = e $IMAGE120$Qe $IMAGE20$. (5).
Из (4) и (5) следует, что
(Qe $IMAGE20$)(x-s) = e $IMAGE130$(Qe $IMAGE20$)(x). (6).
Пусть С $IMAGE20$ = (Qe $IMAGE20$)(0). При Q = 0 соотношение (6) имеет вид
Qe $IMAGE20$ = C $IMAGE20$e $IMAGE20$. (7).
Воспользуемся тем, что образом операт