§1. Основные определения.
Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. Чаще всего рассматриваются матрицы, заполненные элементами из некоторого поля P.
Элементы матрицы обозначаются одной буквой с двумя индексами, указывающими "адрес" элемента - первый индекс дает номер строки, содержащий элемент, второй - номер столбца. Если матрица имеет m строк и n столбцов, то говорят, что матрица имеет размерность $IMAGE8$ (или - размеров $IMAGE8$). Мы будем обозначать матрицы заглавными латинскими буквами, а ее элементы - такими же буквами, но строчными. Таким образом, матрица (размеров $IMAGE8$) записывается в форме:
$IMAGE11$.
Матрица, состоящая из одних нулей, называется нулевой.
Будем обозначать ее 0.
Матрица, имеющая одно и то же число n строк и столбцов, называется квадратной. Число n называется порядком квадратной матрицы.
Элементы матрицы, у которых оба индекса равны (i=j) называются диагональными, а воображаемая прямая, соединяющая все диагональные элементы матрицы называется главной диагональю.
Квадратная матрица, у которой все элементы, за исключением элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается Е.:
$IMAGE12$
Две матрицы считаются равными, если они одного размера и у них совпадают соответствующие элементы.
Две матрицы A=(aij) и B=(bij) одного и того же размера $IMAGE8$можно складывать, их суммой будет матрица того же размера C=(ci j), $IMAGE14$, т.е. чтобы получить сумму двух матрицы достаточно сложить соответственные элементы этих матриц.
Произведение элемента c из поля на матрицу A=(aij) определяется следующим образом: cA=(caij).
Для любой матрицы A существует противоположная -A такая, что
A+(-A)=0.
Все перечисленные свойства непосредственно следуют из определений и свойств операций в поле.
Рассмотрим матрицу A=(aij) размером $IMAGE8$ и матрицу B=(bij) размером $IMAGE16$ (т.к. произведение матриц определено лишь в том случае, когда число столбцов в первой матрице равно числу строк во второй). Для таких матриц введем действие умножения матрицы на матрицу, в результате чего получается матрица C=(cij) размером $IMAGE17$, где $IMAGE18$.
Итак, матрицы можно складывать, умножать их на скаляр, а также умножать матрицу на матрицу. Эти действия обладают свойствами:
По сложению:
1. (A+B)+C=A+(B+C) – ассоциативность;
2. A+B=B+A – коммутативность;
3. Существует нейтральный элемент – матрица 0: A + 0 = 0 + A = A;
4. Для матрицы A существует обратный элемент -A: A + (-A)=0;
По умножению матриц на скаляр:
5. $IMAGE19$;
6. $IMAGE20$;
7. $IMAGE21$;
8. $IMAGE22$;
По умножению матриц:
9. Произведение матриц в общем случае не коммутативно, т.е. AB $IMAGE23$ВА;
10. (AB)C=A(BC) – ассоциативность;
11. (cA)B=A(cB)=cAB;
12. Дистрибутивность умножения относительно сложения (правая и левая) (A1+A2)B=A1B+A2B, A(B1+B2)=AB1+AB2;
13. Существует единственный нейтральный элемент E
(если A – квадратная): EA = AE = A. Если же A размером $IMAGE8$, то
EmA = AEn = A.
14. Произведение матрицы А на нулевую матрицу дает в результате так же нулевую матрицу (существуют случаи, когда нулевая матрица получается в результате перемножения ненулевых матриц).
Для квадратных матриц фиксированного порядка n действия сложения и умножения определены всегда, и их результатами являются квадратные матрицы того же порядка. Таким образом, квадратные матрицы фиксированного порядка образуют кольцо.
Определителем n-го порядка квадратной матрицы А, называется алгебраическая сумма n! членов, которыми являются всевозможные произведения по n элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, причем член берется со знаком плюс, если его индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус – если нечетную перестановку.
$IMAGE25$ $IMAGE26$,
где (a1, a2, ..., an) пробегает все перестановки чисел 1, 2, ..., n; множитель $IMAGE27$ равен +1, если (a1, a2, ..., an) - четная перестановка, и равен –1, если нечетная.
Минором элемента aij называется определитель (n-1) – порядка, полученный из данного определителя n-го порядка, путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца.
Минор aij элемента обозначается Мij.
Алгебраическим дополнением элемента aij называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)i+j.
Алгебраическое дополнение элемента обозначается Аij=(-1)i+j× Мij.
Матрица B называется обратной для матрицы A, если AB=BA=E,
где E - единичная матрица. Равенство AB=BA показывает (нетрудно видеть, используя правило умножения матриц), что число строк и столбцов матрицы A должно быть одинаково.
Таким образом, обратная матрица имеет смысл только для квадратных матриц. Далее мы будем рассматривать только квадратные матрицы.
Если матрица А имеет обратную, то она единственна.
Покажем это. Пусть АВ=СА=Е и С $IMAGE23$В, тогда заметим: С=СЕ=С(АВ)=(СА)В=ЕВ=В. Что противоречить условию.
Определитель произведения любых двух матриц n-го порядка равен произведению их определителей. $IMAGE29$
Докажем. Рассмотрим единичные столбцы n-го порядка:
$IMAGE30$, $IMAGE31$, …, $IMAGE32$
Возьмем произведение матрицы АВ на столбец единичных столбцов (т.е. столбец из n n-мерных столбцов)
$IMAGE33$
Тогда $IMAGE34$= $IMAGE34$×1= $IMAGE34$× $IMAGE37$= $IMAGE38$= $IMAGE39$
= $IMAGE40$= $IMAGE41$= $IMAGE42$= $IMAGE43$.
Что требовалось доказать.
Заключение данной теоремы также выполняется и для случая, когда элементы матриц взяты из кольца вычетов Zn.
Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен нулю и не вырожденной в противном случае.
Для всякой невырожденной матрицы существует обратная матрица.
Покажем это. Пусть A=(aij) –невырожденная квадратная матрица ( $IMAGE44$). Рассмотрим матрицу А*= $IMAGE45$, где Аij – алгебраическое дополнение элементов определителя $IMAGE46$, причем алгебраические дополнения i-й сроки стоят в i-ом столбце.
Найдем произведение С=АА*, где С=(сij)
$IMAGE47$
$IMAGE48$
и т.д.
Найдя все элементы матрицы С по описанному выше алгоритму,
в итоге, получим следующее: $IMAGE49$, т.е. $IMAGE50$. Значит матрица А* - обратная к невырожденной матрице А.
Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Иначе если вырожденная матрица А ( $IMAGE51$) имеет обратную А*, тогда верными будут следующие равенства: А·А*=Е, $IMAGE52$, $IMAGE53$, $IMAGE54$.
Что в принципе не верно.
Нужно отметить, что невырожденной матрицей над Zn называется матрица, определитель которой является обратимым элементом в Zn .
§2. Обратимые матрицы над полем Zp
В данном параграфе попытаемся вывести формулу для подсчета количества обратимых матриц в поле Zp, где p – простое.
1. Формула для подсчета обратимых матриц порядка 2.
Будем рассматривать матрицы $IMAGE55$.
Алгебраическое дополнение к элементу $IMAGE56$ есть определитель матрицы $IMAGE57$ порядка 1, т.е. $IMAGE58$. Алгебраическое дополнение к элементу $IMAGE59$ есть определитель матрицы $IMAGE60$ порядка 1, т.е. $IMAGE61$.
Нужно найти количество всех невырожденных матриц
(когда $IMAGE62$). При этом
$IMAGE63$ (1.1)
Формулу выведем в 2 этапа.
1) Пусть $IMAGE64$ (р-1 штук), $IMAGE65$ (р-1 штук),
$IMAGE66$ (по р штук) (1.2).
Тогда количество матриц, удовлетворяющих данным условиям, вычисляется по формуле
(р-1)2р2 (1.3)
Мы утверждаем, что по этой же формуле вычисляется количество матриц, определитель которых не обращается в нуль, при условии, что $IMAGE64$, $IMAGE65$.
В условии (1.2) не учитываются матрицы вида $IMAGE69$ с неравным нулю определителем, количество которых нужно прибавить.
Но сосчитали матрицы вида $IMAGE70$ с определителем обращающимся в нуль, количество которых нужно вычесть.
