База рефератов

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова

Математический факультет

Кафедра геометрии и высшей алгебры

Лакунова   Залина

                         

Дипломная работа

«О некоторых применениях алгебры матриц»

Научный руководитель:

д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А                                          /В.Н.Шокуев /

Рецензент:

к.ф.-м.н.,доцент                                                              /В.М.Казиев/

Допущена к защите                                                           2002г.

Заведующий кафедрой

к.ф.-м.н.,доцент                                                              /А.Х.Журтов/

Нальчик 2002

Оглавление

                                                                                                          стр.

Введение                                                                                          3                

§1. О правиле Крамера                                                                   4

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел   9

§3. Матричный вывод формулы Кардано                                              17

Литература                                                                                      21                                                                               

 

                           

Отзыв

О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».

Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.

В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней.

В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.

В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом  основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел.

В §3  дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).

Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите.

Предварительная оценка – «хорошо»

д.ф.-м.н., проф.каф.  Г и ВА                                        /В.Н.Шокуев/     

§1. О правиле Крамера

В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем.

Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система  линейных уравнений с неизвестными

                                                  (1)

Определитель которой отличен от нуля:

                                             (2)

Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения

                                                           (3)

где - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),

                                                                   (4)

- столбец (Матрица-столбец) неизвестных

- столбец свободных членов системы (1)

Так как , то матрица  невырожденная и для нее существует обратная матрица . Умножив равенство (3) на  (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и - ее решение)

,

где обратная матрица  имеет вид:

( -алгебраическое дополнение элемента  в определителе )

Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений. Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения  как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании.

         Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц.

         Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай . Очевидно, что при  выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):

Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через  получим формулы Крамера:

      ( )

   (Правило Крамера)

Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка  ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица  с определителем   получается из единичной матрицы заменой -го столбца столбцом неизвестных:

                                          (5)

Теперь из  равенств

  ,

где - матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы  столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве:

, откуда ввиду  имеем

  .

(здесь  получается из , как и  из ).

Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (по-прежнему ): пусть система (1) совместна и числа  (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при  имеем, используя два линейных свойства определителя:

 

         Можно начать и с определителя , в котором вместо свободных членов в -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие свойства определителя, получим:

  ( ),

откуда и получаются формулы Крамера.

         Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним из известных способов.

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.

Матрица вида:

   

- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом.

Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)

  .

Прибавив первые две строки к третьей, получим:

.

Вынесем общий множитель  из последней строки:

.

Так как

,

то

.

С другой стороны, по определению детерминанта имеем:

Следовательно, выполняется тождество

(1)

Имеет место следующее предложение.

Предложение 1. Уравнение

                                                 (2)

не имеет решений в натуральных числах

Доказательство: Если - вещественные положительные числа, не все равные между собой, то

                                              (3)

Пусть - не все равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа  и , не все равные между собой, такие, что . К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа  между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть число положительное и, следовательно,

,