Высшая математика
Слушатель – Никифоров Михаил Николаевич
Курс 1. АПМ-03. Семестр осенний. 2003 год.
Матрица – совокупность чисел, записанных в виде прямоугольной таблицы.
Минором для элемента аig называется определитель матрицы, полученный из исходной, вычеркиванием i-ой строки и g-ого столбца.
Матрицы с нулевым определителем называются вырожденными или особенными. Особенная матрица обратной не имеет. 
. 
.
Bpq согласовано с Amn, если число строк В равно числу столбцов А, т.е. p=n. Одно согласование.
1) Если один столбец или одна строка все нули, то | |=0.
2) Если в матрице имеется 2 равных столбца или 2 равных строки, то | |=0.
3) Треугольная матрица. Все элементы выше или ниже главной диагонали =0. Тогда определитель матрицы равен произведению диагональных элементов.
4) При перемене местами 2 строк или 2 столбцов определитель меняет знак.
5) Определитель матрицы, содержащей 2 пропорциональные строки или столбца равен нулю.
6) Определитель матрицы равен сумме произведений некоторой строки на соответствующие алгебраические дополнения.
Системы уравнений с матрицами
Система 1 совместная, если имеет хотя бы одно решение.
Система 1 определенная, если есть только 1 решение и неопределенная, если более 1 решения.
Ранг матрицы.
Ранг нулевой матрицы равен 0.
Ранг единичной матрицыnm равен n.
Ранг трипсидальной матрицы равен числу ненулевых строк.
При элементарных преобразованиях матрицы ранг её остается неизменным.
При добавлении к матрице строки или столбца ранг её может только увеличиться или остаться неизменным.
Лекция 5.
.
Замечание: 1) 
Нет решения
2) 
$IMAGE6$. n-число неизвестных
а) r=n – одно решение $IMAGE7$
б) r<n – бесконечное множество решений, зависящих от S=n-r параметров.
Векторная алгебра
Проекция вектора на ось:
Проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проекция АВ на х это число |A’B’| взятое со знаком +, если угол острый и со знаком – если угол тупой.
$IMAGE8$, $IMAGE9$
$IMAGE10$.
Скалярное произведение векторов
$IMAGE11$. $IMAGE12$
Признак перпендикулярности $IMAGE13$.
Векторное произведение векторов
$IMAGE14$; $IMAGE15$; $IMAGE16$
Объем пирамиды $IMAGE17$; $IMAGE18$
Смешанное произведение векторов
$IMAGE19$
Если $IMAGE20$ - углы, которые составляет вектор а с координатными осями, то $IMAGE21$, откуда следует
$IMAGE22$
$IMAGE23$
$IMAGE24$
Условие коллинеарности $IMAGE25$
ab=0 – перпендикулярность
$IMAGE26$ - коллинеарность
abc=0 – компланарность
Аналитическая геометрия
Плоскость в пространстве
Нормаль и точка привязки однозначно определяют положение плоскости в пространстве.
$IMAGE27$ -
каноническое уравнение (1)
Общее уравнение плоскости
$IMAGE28$, где $IMAGE29$,
где А, В, С – координаты нормали, D – свободный член, x,y,z – текущий координаты.
Уравнение плоскости, проходящий через точку $IMAGE30$ перпендикулярно вектору N=(A;B;C), имеет вид
$IMAGE31$
Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки записывают в виде
$IMAGE32$
Уравнение плоскости в отрезках $IMAGE33$
Нормальное уравнение плоскости $IMAGE34$, где p – расстояние от начала координат.
Нормирующий множитель $IMAGE35$
Расстояние от точки до плоскости
$IMAGE36$
Угол между плоскостями $IMAGE37$
Условия параллельности и перпендикулярности $IMAGE38$; $IMAGE39$
Уравнение пучка плоскостей: $IMAGE40$
Прямые линии в пространстве.
$IMAGE41$-уравнение прямой
$IMAGE42$ - параметрическое уравнение прямой.
$IMAGE43$ - каноническое уравнение прямой.
Уравнения прямой, проходящей через 2 заданные точки
$IMAGE44$
Угол между 2 прямыми
$IMAGE45$
Взаимное расположение 2 прямых.
1. $IMAGE46$ (могут лежать и на одной прямой)
2. $IMAGE47$ (могут скрещиваться)
3. $IMAGE48$. Если (3) $IMAGE49$, то скрещиваются.
Взаимное расположение прямой и плоскости
1. $IMAGE50$
2. $IMAGE51$
3. Угол между прямой и плоскостью $IMAGE52$
4. $IMAGE53$
Аналитическая геометрия на плоскости.
Прямоугольная декартова система координат на плоскости
Расстояние между 2 точками $IMAGE54$.
Если заданы точки А и В и точка С делит отрезок АВ в отношении $IMAGE55$, т.е. $IMAGE56$, то $IMAGE57$.
Уравнение прямой на плоскости
Ax+By+C=0;
Уравнение прямой в отрезках $IMAGE58$.
Уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки $IMAGE59$.
Уравнение прямой, проходящей через точку, под заданным углом $IMAGE60$к оси Ох ( $IMAGE61$): $IMAGE62$
Расстояние от точки до прямой $IMAGE63$
1. $IMAGE64$
2. $IMAGE65$
3. $IMAGE66$
Окружность
Уравнение окружности с центром в M(a;b) радиусом R $IMAGE67$
Уравнение окружности с центром в начале координат $IMAGE68$
Эллипс
Эллипс – геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух заданных точек плоскости (фокусов эллипса) есть величина постоянная, $IMAGE69$, чем расстояние между фокусами.
Обозначим M(x;y) – произвольная точка эллипса, 2с – расстояние между фокусами F1 и F2; 2а – сумма расстояний от точки М до F1 и F2 (a – большая полуось эллипса). $IMAGE70$ - малая полуось эллипса. $IMAGE71$.
Тогда каноническое уравнение эллипса имеет вид $IMAGE72$. $IMAGE73$
Число $IMAGE74$ называется эксцентриситетом эллипса и характеризует сплюснутость эллипса относительно осей $IMAGE75$. Если $IMAGE76$, то получается окружность. a=b.
Гипербола
Гипербола – геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) есть постоянная величина, меньшая, чем расстояние между фокусами.
Если M (x;y) – точка гиперболы; F1, F2 – фокусы, 2с – расстояние между фокусами, 2а – разность расстояний от точки М (х;y) до фокусов $IMAGE77$, где а – действительная полуось гиперболы. $IMAGE78$ - мнимая полуось гиперболы.
Каноническое уравнение гиперболы $IMAGE79$.
Гипербола пересекает ось Ох в точках $IMAGE80$ и $IMAGE81$, с осью Оу пересечений нет.
Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых $IMAGE82$.
Эксцентриситет гиперболы $IMAGE83$.
Парабола
Парабола – геометрическое место точек, равноудаленных от заданной точки F – фокуса и заданной прямой – директрисы параболы. Если ось абсцисс совпадает с перпендикуляром, опущенным из фокуса на директрису, а начало координат делит этот перпендикуляр пополам, то каноническое уравнение имеет вид $IMAGE84$.
Эксцентриситет параболы $IMAGE85$ - отношение расстояния от точки параболы до директрисы к расстоянию от этой точки до фокуса.
Общее уравнение второго порядка
$IMAGE86$ - общее уравнение кривой второго порядка
Параллельный перенос: $IMAGE87$.
Поворот осей: $IMAGE88$
$IMAGE89$
$IMAGE90$ - инварианты. $IMAGE91$ - дискриминант
Если $IMAGE92$>0, то уравнение эллиптического вида
Если $IMAGE92$<0, то уравнение гиперболического типа
Если $IMAGE92$=0, то уравнение параболического типа
Выбираем угол так, чтобы B’=0, тогда
$IMAGE95$ $IMAGE96$ $IMAGE97$
(1) $IMAGE98$ (B=0) $IMAGE99$
1. $IMAGE100$. Осуществляем параллельный перенос для уничтожения членов $IMAGE101$.(**) ** подставляем в
(1) $IMAGE102$+ $IMAGE103$
$IMAGE104$
$IMAGE105$
$IMAGE106$ $IMAGE107$
(2) $IMAGE108$ (3)
а) $IMAGE92$>0 – эллиптический вид
A`C`>0 (одного знака)
Если F``>0, то пустое множество
Если F``=0, то одна точка (x``=0, y``=0)
Если F``<0, то получим эллипс в виде $IMAGE110$, где $IMAGE111$
б) $IMAGE92$<0 (гиперболический вид) A’C’<0 (разные знаки). Пусть A’>0
A`= $IMAGE113$, $IMAGE114$, $IMAGE115$, тогда $IMAGE116$.
Если F0=0, то $IMAGE117$, получаем пару пересекающихся прямых.
Если F0>0, то $IMAGE118$ (гипербола)
Если F0<0, то $IMAGE119$ (гипербола, где оси поменялись местами)
в) $IMAGE120$ (параболический тип) A`C`=0
$IMAGE121$ (5)
а) D`=E`=0, пусть $IMAGE122$
$IMAGE123$
б) $IMAGE124$ $IMAGE125$ $IMAGE106$
** в (5)
$IMAGE127$
$IMAGE128$, где 2р= $IMAGE129$, если p>0, то парабола $IMAGE130$.
Теория пределов
Число а называется пределом последовательности xn для любого ( $IMAGE131$) сколь угодно малого положительного числа $IMAGE132$ найдется номер, зависящий от $IMAGE132$, начиная с которого все члены последовательности отличаются от а меньше, чем на $IMAGE132$.
Предел последовательности
Под числовой последовательностью $IMAGE135$понимают функцию $IMAGE136$, заданную на множестве натуральных чисел $IMAGE137$т.е. функцию натурального аргумента.
Число a называется пределом последовательности xn (x=1,2,…): $IMAGE138$=а, если для любого сколь угодно малого $IMAGE132$>0, существует такое число N=N( $IMAGE132$), что для всех натуральных n>N выполняется неравенство $IMAGE141$.
1) $IMAGE136$, $IMAGE143$ - натуральное число. Если xn=a, то (a, a, a, a) – стационарная последовательность.
2) $IMAGE144$, где a, d – const, тогда (a, a+d, a+2d,…a+(n-1)d)
xn+1=xn+d – рекуррентная формула.
3) Числа Фибоначчи. (1,1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,…), где x1, x2 =1 и $IMAGE145$.
$IMAGE146$ (*);
$IMAGE147$ $IMAGE148$
$IMAGE149$ - эпсилон – окрестность числа а.
1. $IMAGE150$. $IMAGE151$ $IMAGE152$
2. $IMAGE153$
Основные теоремы пределах
1. О единственном пределе. Последовательность имеет не более 1 предела.
2. Предельный переход в неравенстве.
3. О трех последовательностях. О сжатой последовательности.