МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ОТКРЫТЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Курсовая работа
Модели и методы принятия решений
Выполнила: Токарева О.П.
Заочная форма обучения
Курс V
Специальность 210100
№ зачетной книжки 602654
Проверил: Цыганов Ю.К.
Москва
2008
Задание
на курсовую работу по дисциплине «Модели и методы принятия решений»
Вариант 4
Задача 1.
Решить графоаналитическим методом.
min j (X) = – 3x1 – 2x2
при 2x1 + x2 ³ 2
x1 + x2 £ 3
– x1 + x2 ³ 1
X ³ 0
Задача 2.
· Найти экстремумы методом множителей Лагранжа.
· Решение проиллюстрировать графически.
extr j (X) = x12 + x22
при x12 + x22 – 9x2 + 4,25 = 0
Задача 3.
· Решить на основе условий Куна-Таккера.
· Решение проиллюстрировать графически.
extr j (X) = x1x2
при 6x1 + 4x2 ³ 12
2x1 + 3x2 £ 24
– 3x1 + 4x2 £ 12
Задача 4.
· Получить выражение расширенной целевой функции (РЦФ) и составить блок-схему алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с одним из методов безусловной минимизации.
· Решить задачу средствами MS Excel.
· Решение проиллюстрировать графически.
max j (X) = 2x1 + 4x2 – x12 – 2x22
при x1 + 2x2 £ 8
2x1 – x2 £ 12
X ³ 0
Задача 1
Решить графоаналитическим методом.
min j (X) = – 3x1 – 2x2
при 2x1 + x2 ³ 2
x1 + x2 £ 3
– x1 + x2 ³ 1
X ³ 0
Решение:
Построим линии ограничений:
Примем: 2х1+х2=2 (a)
х1+х2=3 (b)
-х1+х2=1 (c)
экстремум функция минимизация алгоритм
Получаем три прямые a, b и c, которые пересекаются и образуют треугольник соответствующий области которая соответствует первым трем ограничениям, добавляя четвертое ограничение получаем четырехугольник ABCD – допустимая область значений, в которой надо искать минимум (на рисунке эта область не заштрихована).
Рис. 1
Примем целевую функцию равной нулю (красная линия d) тогда градиент имеет координаты (-3;-2). Для того, чтобы найти минимум целевой функции будем перемещать график линии d параллельно самой себе в направлении антиградиента до входа ее в область ограничений. Точка в которой область войдет в допустимую область и будет искомой точкой минимума целевой функции. Это точка В(0,33 ; 1,33). При этом целевая функция будет иметь значение:
Темно-синяя линия на рисунке (е).
Задача 2.
· Найти экстремумы методом множителей Лагранжа.
· Решение проиллюстрировать графически.
extr j (X) = x12 + x22
при x12 + x22 – 9x2 + 4,25 = 0
Решение:
Составим функцию Лагранжа
h(X)=x12 + x22 - 9x2 + 4,25=0
Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их к нулю:
Решим данную систему уравнений:
Разложим на множители 1 уравнение системы:
$IMAGE6$
Предположим, что $IMAGE7$, тогда $IMAGE8$. Подставим во второе уравнение:
2x2 - 2x2 + 9 = 0
9 = 0 не верно, следовательно принимаем, что
$IMAGE9$, а $IMAGE10$
Подставляем $IMAGE11$ в третье уравнение:
$IMAGE12$
Решая это квадратное уравнение получаем, что
$IMAGE13$
Подставляем эти значения во второе уравнение:
1.Подставим первый корень $IMAGE14$, получаем
$IMAGE15$
2. Подставим второй корень $IMAGE16$, получаем
$IMAGE17$
$IMAGE18$
| ( X*,λ*) N | X1* | X2* | λ* | φ(X*) | Примечание |
| 1 | 0 | $IMAGE19$ | $IMAGE20$ | $IMAGE21$ | Min |
| 2 | 0 | $IMAGE22$ | $IMAGE23$ | $IMAGE24$ | Max |
$IMAGE25$- кривая a (окружность)
$IMAGE26$- кривая b (окружность)
Задача 3
· Решить на основе условий Куна-Таккера.
· Решение проиллюстрировать графически.
extr j (X) = x1x2
при 6x1 + 4x2 ³ 12
2x1 + 3x2 £ 24
– 3x1 + 4x2 £ 12
Решение:
Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.
Составим функцию Лагранжа:
$IMAGE27$
Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их к нулю:
$IMAGE28$
Решим данную систему уравнений:
1.Предположим, что $IMAGE29$, тогда из уравнения 5 получим:
$IMAGE30$
Предположим, что $IMAGE31$, $IMAGE32$, $IMAGE33$, тогда из уравнения 1 получим:
$IMAGE34$
Пусть $IMAGE35$, тогда из уравнения 2 получаем:
$IMAGE36$
Это решение не удовлетворяет условиям задачи: (Х≥0)
2.Предположим, что $IMAGE37$и $IMAGE38$, тогда из уравнения 1 получим:
$IMAGE39$
Предположим, что $IMAGE40$, $IMAGE41$, $IMAGE42$, выразим из второго уравнения $IMAGE43$:
$IMAGE44$
Подставим в 3 уравнение:
$IMAGE45$
Получаем: $IMAGE46$, $IMAGE47$, $IMAGE48$
В этой точке функция $IMAGE49$ равна минимальному значению
3. Предположим, что $IMAGE50$, $IMAGE51$ и $IMAGE52$, тогда из второго уравнения получим:
$IMAGE53$
Предположим, что $IMAGE40$, $IMAGE55$ и $IMAGE56$, тогда из второго уравнения следует:
$IMAGE57$
Подставим в четвертое уравнение:
$IMAGE58$
Получаем: $IMAGE59$, $IMAGE60$, $IMAGE61$
В этой точке функция $IMAGE49$имеет максимальное значение:
$IMAGE63$
| X* N | X1* | X2* | φ(X*) | Примечание |
| 1 | 1 | 1,5 | 1,5 | Min |
| 2 | 6 | 4 | 24 | Max |
Прямая а соответствует графику функции 6х1+4х2=12
Прямая b – графику функции 2х1+3х2=24
Прямая с – графику функции -3х1+4х2=12
Прямая d – графику функции $IMAGE64$
Прямая е – графику функции $IMAGE65$
Задача 4
· Получить выражение расширенной целевой функции (РЦФ) и составить блок-схему алгоритма численного решения задачи методом штрафных функций в сочетании с одним из методов безусловной минимизации.
· Решить задачу средствами MS Excel.
· Решение проиллюстрировать графически.
max j (X) = 2x1 + 4x2 – x12 – 2x22
при x1 + 2x2 £ 8
2x1 – x2 £ 12
X ³ 0
Решение:
1. Найдем выражение вектор функции системы:
Составим функцию Лагранжа:
$IMAGE66$
Вектор функция системы:
$IMAGE67$
2. Составим матрицу Якоби
$IMAGE68$=