Варивант №2
Задание 1
Дан треугольник ABC, где А(-3,2), В(3,-1), С(0,3). Найти:
1. Длину стороны АВ;
2. Внутренний угол А с точностью до градуса;
3. Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины С;
4. Точку пересечения высот;
5. Уравнение медианы, опущенной из вершины С;
6. Систему неравенств, определяющих треугольник АВС;
7. Сделать чертеж;
Решение:
1. Найдем координаты вектора АВ:
Длина стороны АВ равна:
2. Угол А будем искать как угол между векторами АВ и АС(-3,1)
Тогда 
3. Прямая СК перпендикулярна АВ проходит через точку С(0,3) и имеет нормалью вектор 
.
По формуле получим уравнение высоты:
$IMAGE6$
Сокращаем на 3 получим уравнение высоты:
$IMAGE7$
4. Координаты основания медианы будут:
$IMAGE8$; $IMAGE9$
Уравнение медианы найдем, пользуясь данной формулой, как уранение прямой, проходящей через 2 точки: С и М
$IMAGE10$
$IMAGE11$
Так как знаменатель левой части равен нулю, то уравнение медианы будет иметь такой вид х=0
5. Известно что высоты треугольника пересекаются в одной точке Р. Уравнение высоты СК найдено, выведем аналогично высоту BD проходящую через точку В перпендикулярно вектору $IMAGE12$
$IMAGE13$
Координаты точки Р найдем как решение системы уравнений:
$IMAGE14$
х=11 у=23
6. Длину высоты hc будем ее искать как расстояние от точки С до прямой АВ. Эта прямая проходит через точку А и имеет направляющий вектор $IMAGE15$.
$IMAGE16$
$IMAGE17$
Теперь воспользовавшись формулой
$IMAGE18$
Подставляя в нее координаты точки С(0,3)
$IMAGE19$
Задание 2
Даны векторы $IMAGE20$ Доказать, что $IMAGE21$образуют базис четырехмерного пространства, и найти координаты вектора «в» в этом базисе.
$IMAGE22$
Решение:
1. Докажем, что подсистема $IMAGE23$линейно независима:
$IMAGE24$
$IMAGE25$
Из четвертого уравнения имеем , что $IMAGE26$, тогда из первого, второго и третьего следует, что $IMAGE27$. Линейная независимость доказана.
Докажем, что векторы $IMAGE21$можно представить в виде линейных комбинации векторов $IMAGE29$.
Очевидно,
$IMAGE30$
Найдем представление $IMAGE31$ через $IMAGE29$.
$IMAGE33$
$IMAGE34$
Из четвертого уравнения находим $IMAGE35$и подставляем в первые три
$IMAGE36$
Получили , что данная система векторов не может называться базисом!
Задание 3
Найти производные функций:
$IMAGE37$
$IMAGE38$
Задание 4.
Исследовать функцию и построить ее график
$IMAGE39$
1. Область определения:
$IMAGE40$, то есть $IMAGE41$
2. Кривая $IMAGE39$ имеет вертикальную ассимптоту х=-1, так как
$IMAGE43$
Находим наклонные асимптоты. $IMAGE44$а то означает, что есть вертикальная асимптота у=0.
3. Функция общего вида, так как $IMAGE45$ и $IMAGE46$
4. Функция периодичностью не обладает
5. Находим производную функции
$IMAGE47$
Получаем 3 критические точки х=-1 х=1, и х=5.
Результаты исследования на монотонность и экстремумы оформляется в виде таблицы
| х | $IMAGE48$ | $IMAGE49$ | 1 | $IMAGE50$ | 5 | $IMAGE51$ |
| y’ | - | - | 0 | + | 0 | - |
| y | убывает | убывыает | 0 min | возрастает | 0,074 | убывает |
6. Находим вторую производную функции
$IMAGE52$
Получаем критические точки х=-1; х=0,22; х=6,11
Результаты исследований на выпуклость и точки перегиба оформляем в виде таблицы.
| х | $IMAGE48$ | $IMAGE54$ | 0.22 | $IMAGE55$ | 6.11 | $IMAGE56$ |
| y” | - | + | 0 | + | 0 | - |
| y | выпукла | вогнута | 0,335 перегиб | вогнута | 0,072 | выпукла |
7. Находим точки пересечения графика с осями координат Ох и Оу
$IMAGE57$ получаем точку (0;1); $IMAGE58$получаем точку (1;0)
8. При х=-2, у=-9, при х=-5, у=-0,56, при х=-10, у=-0,166
9. Строим график в соответствии с результатами исследований:
$IMAGE59$
Задание 5
Найти неопределенные интегралы и проверить их дифференцированием.
а) $IMAGE60$; б) $IMAGE61$; в) $IMAGE62$; г) $IMAGE63$
Решение:
а) сделаем подстановку sin3x=t, тогда dt=cos3x dx, следовательно:
$IMAGE64$
Проверка:
$IMAGE65$
б) сделаем подстановку $IMAGE66$
$IMAGE67$
Проверка:
$IMAGE68$
в) Воспользуемся способом интегрирования по частям
$IMAGE69$
Проверка:
$IMAGE70$
г) воспользуемся способом интегрирования рациональных дробей
$IMAGE71$
$IMAGE72$
Проверка:
$IMAGE73$
Задание 6
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций:
$IMAGE74$
Решение:
находим координаты точек пересечения заданных графиков функций:
$IMAGE75$приравнивая правые части, получаем квадратное уравнение
$IMAGE76$корни этого квадратного уравнения $IMAGE77$
следовательно : $IMAGE78$, и значит координаты точек пересечения А(0,7) и В(5,2). Точка х=2 находится между точками 0 и 5. Подставляя в уравнения 2 получаем: $IMAGE79$
т.к $IMAGE80$ получаем:
$IMAGE81$