Задание 1
Вычислите 
и 
последовательности 
.
Решение.
Рассмотрим последовательность 
.
для любого натурального $IMAGE6$
Следовательно, множество является ограниченным сверху. Это означает, что последовательность имеет верхнюю точную грань: $IMAGE9$.
$IMAGE10$
Следовательно, множество не является ограниченным снизу. Это означает, что нижняя грань $IMAGE12$ последовательности не существует.
Ответ. $IMAGE14$ $IMAGE15$ не существует
Задание 2
Пользуясь определением предела последовательности, докажите, что $IMAGE16$.
Доказательство.
Число $IMAGE17$ называется пределом последовательности $IMAGE18$, если для любого положительного числа $IMAGE19$ существует номер $IMAGE20$ такой, что при $IMAGE21$ выполняется неравенство $IMAGE22$.
Используя определение предела последовательности, докажем, что $IMAGE16$.
Возьмем любое число $IMAGE24$.
$IMAGE25$
$IMAGE26$
Если взять $IMAGE27$, то для всех $IMAGE21$ будет выполняться неравенство $IMAGE29$. Следовательно, $IMAGE16$.
Доказано
Задание 3
Пользуясь определением предела функции, докажите, что $IMAGE31$.
Доказательство
Число $IMAGE32$ называется пределом функции $IMAGE33$ при $IMAGE34$, если для любого числа $IMAGE24$ существует число $IMAGE36$ такое, что для всех $IMAGE37$, удовлетворяющих неравенству $IMAGE38$, выполняется неравенство $IMAGE39$.
Используя определение предела функции, докажем, что $IMAGE31$.
Возьмем любое $IMAGE24$.
$IMAGE42$
$IMAGE43$
$IMAGE44$
Положим $IMAGE45$.
Если взять $IMAGE45$, то для всех $IMAGE47$, удовлетворяющих неравенству $IMAGE48$, выполняется неравенство $IMAGE49$. Следовательно, $IMAGE31$.
Доказано.
Задание 4
Вычислите предел $IMAGE51$.
Решение.
$IMAGE52$
$IMAGE53$
Ответ. $IMAGE54$
Задание 5
Вычислите предел $IMAGE55$.
Решение.
$IMAGE56$
$IMAGE57$
Ответ. $IMAGE58$
Задание 6
Вычислить предел $IMAGE59$.
Решение.
$IMAGE60$
Ответ. $IMAGE61$
Задание 7
Вычислить предел $IMAGE62$.
Решение.
$IMAGE63$
Ответ. $IMAGE64$
Задание 8
Вычислить предел $IMAGE65$.
Решение
$IMAGE66$
$IMAGE67$
$IMAGE68$
Ответ. $IMAGE69$
Задание 9
Вычислить предел $IMAGE70$.
Решение.
$IMAGE71$
Ответ. $IMAGE72$
Задание 10
Вычислить предел $IMAGE73$.
Решение.
$IMAGE74$
$IMAGE75$
$IMAGE76$
$IMAGE77$
Ответ. $IMAGE78$
Задание 11
Вычислить предел $IMAGE79$.
Решение.
$IMAGE80$
$IMAGE81$
$IMAGE82$
Ответ. $IMAGE83$
Задание 12
Вычислить предел $IMAGE84$.
Решение.
$IMAGE85$
$IMAGE86$
Ответ. $IMAGE64$
Задание 13
Вычислить предел $IMAGE88$.
Решение.
$IMAGE89$
Ответ. $IMAGE90$
Задание 14
Вычислить предел $IMAGE91$.
Решение.
$IMAGE92$
$IMAGE93$ при $IMAGE94$ функция $IMAGE95$ является бесконечно малой
$IMAGE96$ для любого $IMAGE97$ функция $IMAGE98$ является ограниченной.
Известно, что произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции есть бесконечно малая функция. Следовательно, функция $IMAGE99$ является бесконечно малой при $IMAGE94$. Это означает, что $IMAGE101$.
$IMAGE102$
$IMAGE103$
Ответ. $IMAGE104$