1Натуральные числа – 1,2,3,4, …., счёт предметов, указание порядкового номера. Натуральные числа также называют положительными целыми числами. Числа –1,-2, -3, …, противоположные натуральным называются отрицательными целыми числами. Число 0 тоже целое. Рациональные числа – целые и дроби (+,-) Вид М/N, где (N  0) M и N- взаимно простые целые числа. Иррациональные - √2 все вышепереч-е + бесконечные непериодич. дроби. Все эти числа – действительные. Компл. число Z1=A1+iB1; iІ=-1 2 Z1±Z2=(A1±A2)+i(B1±B2) Z1*Z2=(A1+iB1)*(A2+iB2) Z1/Z2=(a1+ib1)(a2-ib2)/(a2+ib2)(a2-ib2)=(a1a2+b1b2)+ i(b1a2-a1b2)\a2І+b2І=(a1a2+b1b2/a2І+b2І)+i* (b1a2- a1b2/a2І+b2І) 3 Тигонометрическая форма комплексного числа Z=a+ib=r*cosφ+i*r*sinφ=r*(cosφ+i*sinφ) r – модуль; φ – аргумент. b – y; a – x. 4 ZЄ=rЄ(cos Aφ+i*sin Aφ) 5 Є√Z=Є√r(cos φ+2πk/а +i *sin φ+2πk/a) k∈(1;2;3…a-1) Все корни А-ой степени лежат на окружности r=| Z |№\а и являются вершинами правильного А-угольника, вписанного в эту окружность. 6 Переменная вел. Х, принимающая последовательно ( с возрастанием номера n ) значения х1,х2,х3..хN называется числовой последовательностью 1,1,1,1,1…1 1,1/2,1/3…1/N 1,-1,1,-1…(-1)Є Xn,n∈N Число А наз. пределом последовательности Хn если для любого сколь угодно малого положит. числа E>0 найдётся такой номер N(E), что как только n>N(E) то имеет место неравенство | Xn – A | < E lim Xn = A n→∞ Число А есть предел последовательности Xn если для любого ε > 0 найдётся такой номер N, начиная с которого (при n>N) все члены последовательности будут заключены в ε-окрестности какой бы она узкой ни была. Вне этой окрестности может быть лишь конечное число членов этой последовательности. 7 Если последовательность Хn монотонна и ограничена, то она имеет предел (сходится). Cвойства пределов: если Хn=С то lim Xn=C n→∞ пусть lim Xn=A, a lim Yn=B тогда lim (Xn±Yn)=A±B n→∞ n→∞ lim (Xn*Yn)=A*B lim (Xn/Yn)=A/B ; B≠0
если Xn≤Yn для n∈N то lim Xn ≤ lim Yn n→∞ n→∞ 8 Eсли Хn сходится (имеет предел) то Хn ограничена Последовательность Xn; n∈N наз. ограниченной если существует положительное число М, что выполняется нер-во | Xn |≤M; n∈N Если lim Xn=0, то Xn; n∈N наз. БМВ обознач (αn,βn,γn) n→∞ Св-ва БМВ: lim αn=0 n→∞ lim (αn±βn)=0 n→∞ lim (Xn*αn)=0; если Xn-ограничена n→∞ В произведении БМВ можно заменять на эквивалентную БМ. В алгебраической сумме замену можно производить в том случае если не происходит сокращения БМ одного порядка с Х: sin X ~ X eЄ-1 ~ a tg X ~ X (1+x)Є ~ ax 1 – cos X ~ XІ/2 arctg X ~ X LOGe(1+X) ~ X xЄ-1 ~ aLNx 9 Сумма эл-тов числовой последовательности наз. числовым рядом.  Сумма n членов ряда – n частичная сумма ряда Если при n→∞ lim Sn=S, то ряд сходящийся, S сумма ряда . Ряд наз. сходящимся если сущ. конечный предел последовательности его частичных сумм. Прим:  при каких q сходится и расходится ? сходится к сумме S=a/1-q при | q |<1 и расход-ся при | q |≥1 10 Признак сравнения двух знакоположит-х рядов. есть 2 знакполож. ряда ∑Ak,∑Bk так что 0≤Ak≤Bk k∈N тогда если ∑Bk⇒ то ∑Ak тоже ⇒ и наооборот если меньший ряд не сходится то и больший тоже. 11 Признак Даламбера ∑Un c положительными членами сущ. lim Un+1/Un =l n→∞ то ряд сходится если l<1 и расходится если l>1, если l=1 то вопрос о сходимости нерешён. Признак Коши ∑An – знакополож. ряд lim Є√An=q n→∞ q<1 – сходится ; q>1 – расходится. 12 Знакопеременный ряд а1-а2+а3-а4…+ (-1)в степ.(n-1)*An An>0 Признак Лейбница: Если члены ряда (знакопер) убывают а1>a2>a3>…An и предел Аn при n→∞ =0 то ряд сходится пример 1-1/2+1/3-1/4…+(-1)(n-1)*1/n 13 Имеет место функциональная зависимость между двумя переменными величинами х и у если задан закон y=f(x), согласно которому каждому х∈Х соответствует значение y∈Y. х-аргумент y=kx+b – линейная ф-ия y=axІ+bx+c – квадратичная ф-ия Обратная ф-ия – ф-ия x=φ(y) наз. обратной ф-ией к прямой ф-ии y=f(x) если x=φ(f(x)) для всех х∈Х Графики взаимно обратных ф-ий симметричны относительно прямой у=х. y=XЄ и y=LOGxA – примеры 14 Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ(ε)>0 что для всех х не равных х0 и удовлетворяющих условию | x-x0 |<δ выполняется нерав-во | f(x)-B | < ε lim f(x)=B x→x0 Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0, значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю) 15 lim f(x)=B x→x0 Если B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0. св-ва : lim c=c x→x0 если f(x)=b, φ(x)=c то lim (f(x)±φ(x))=b±c x→x0 lim (f(x)*φ(x))=b*c x→x0 lim (f(x)/φ(x))=b/c (c≠0) x→x0 Если f(x)≤φ(x)≤g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim φ(x)=b x→x0 x→x0 x→x0 если при этом b=f(x0); c=φ(x0) то св-во 2 можно записать: (Если f(x) или φ(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0 непрерывны сумма, разность, произведение и частное(φ(х0))≠0 этих функций Если ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом отрезке 16 Линейная ф-ия непрерывна в любой точке А∈(-∞;+∞) y=kx+b=f(x) f(A)=kA+b k≠0 ⇒ | f(x)-f(a) |<ε | kx-b-ka+b | <ε | k (x-f) | <ε | k |*| x-a | <ε | x-a | < ε/| k |=δ(ε) y=axІ+bx+c (-∞;+∞) 17 y=BЄ (B>0) Докажем, что y=BЄ непрерывна на (-∞;+∞) lim BЄ=1 a→0 | BЄ-1 | <ε 1) B=1 2) B>1 -ε < BЄ-1 < ε 1-ε < BЄ < ε+1 LOGb(1-ε) min {-LOGa(1-ε); LOGa(1+ε)}= δε | x | < δε LOGaB 18 y=cos x (-∞; +∞) | cos x – cos a | < ε | 2 sin (x-a)/2 + sin (x+a)/2 | < ε 2 | sin (x-a)/2 | + | sin (x+a)/2 | < ε 2 | sin (x-a)/2 | < ε | x-a | < ε =δ(ε) y=sin x (-∞; +∞) y=tg x=sin x/cos x кроме x=π/2+πk y=ctg x=cos x/sin x кроме x=πk 19 Первым замечательным пределом называется lim sin x/x=1 x→x0 20 Второй замечательный предел lim(1+1/a)Є=e a→∞ Число е (число Эйлера, неперово число) играет важную роль в матанализе. lim (1+a)№’Є=e a→0 21 Пусть имеется ф-ия y=f(x), определённая на (а; в), говорят что ф-ия имеет в т. х0∈(а; в) производную f ’(x0) если существует предел lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) x→x0 Производной ф-ии y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения ф-ии к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю. Ф-ия имеющая производную в каждой точке интервала называется дифференцируемой на этом интервале. Геометрический смысл производной: пр-ая f `(x0) есть угловой коэфф. (tg угла наклона) касательной, проведённой к кривой y=f(x) в точке х0 , k=f ‘(x0) у=f ‘(x0)(x - x0) Механический смысл производной: пр-ая пути по времени s ‘(t0) есть скорость точки в момент t0: V(t0)=s ‘(t0) Определение для любой точки 
22 Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ий равна такой же сумме производных этих ф-ий (u±v)`=u`± v` Производная произведения двух дифференцируемых ф-ий равна произведению пр-ой первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на про-ую второго: (uv)`=u`v + uv` Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cu)`=cu` Производная произведения нескольких дифференцируемых ф-ий равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные (uvw)`=u`vw+uv`w+uvw` 23 Производная частного двух ф-ий u(x)/v(x), если v(x)≠0 равна дроби, числитель которой есть разность произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя есть квадрат прежнего знаменателя: (u/v)`=(u`v-uv`)/vІ; v≠0 (u/c)`=1/c*u` (c/u)`=-cv`/vІ c=const 24 (xЄ)`=axЄˉ№ 25 (LNx)`=1/x (eЄ)`=eЄ Для дифференцируемой ф-ии с производной, не равной 0, производная обратной ф-ии равна обратной величине производной данной ф-ии X`y = 1/Y`x 26 (sin x)`=cos x (cos x)`=-sin x (tg x)`=1/cosІx (ctg x)`=-1/sinІx 27 Если y=f(u) и u=φ(x) – дифференцируемые ф-ии от своих аргументов, то производная сложной ф-ии существует и равна производной данной ф-ии по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по незавмсимой переменной х y`=f`(u)*u` y=f(u(x)) Fx`=Fu`*Ux` Пример: y=(√x+5)і y`=? y=uі, где u=√x+5 по формуле : y`=3u`*u`=3(√x+5)І(√x+5)`=3(√x+5)І/2√x 28 Дифференциалом ф-ии наз. линейная часть приращения ф-ии (относительно Δх), равная произведению производной на приращение независимой переменной. dy=f`(x)Δx Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной. Геометрический смысл: Дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведённой к графику ф-ии y=f(x) в данной точке когда х получает приращение Δх 29 При исследовании ф-ий используется следующий алгоритм: 1 ООФ, ОЗФ 2 Непрерывность ф-ии 3 Нахождение асимптот 4 Экстремумы и интервалы монотонности 5 Интервалы выпуклости и т. перегиба 6 Чётность нечётность, периодичность 7 Т. пересечения с Ох и Оу (3)Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой f(x) Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл. горизонтальной асимптотой f(x) Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел (f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й (4)Если производная ф-ии положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х то ф-ия возрастает (убывает) на этом промежутке Если при переходе через т. х0 производная дифференцируемой ф-ии меняет свой знак и в т. х0 равна 0 то х0-точка экстремума (минимума или максимума) (5)Точкой перегиба непрерывной ф-ии (f``(x)=0) наз. т. в разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и вверх. Ф-ия y=f(x) называется выпуклой внизу на интервале (a;b) если f``(x)>0 на (a;b); ф-ия называется выпуклой вверх на (a;b) если f``(x)<0 на (a;b) 30 Асимптотой графика ф-ии y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(x)) до этой прямой стремится к 0 при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Если для некоторого х0 имеет место предел f(x)=∞ при х→х0 то говорят, что х=х0 явл. вертикальн. асимптотой f(x). Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва ф-ии или на концах её ООФ (а; в) если аи в – конечные числа Если предел f(x)=b при x→∞ то говорят, что у=b явл. горизонтальной асимптотой f(x) Если предел f(x)/х=k при x→∞ (k≠0;k≠∞) и предел (f(x)-kx)=b, то y=kx+b является наклонной асимпт-й Наклонная асимптота как и горизонтальная может быть правосторонне
> ![]()
![]()
![]()
Если на (А,В) f(x)> Если на (А,В) f(x)>
|