Тема 1. Система линейных уравнений
В общем случае система 
линейных уравнений с 
неизвестными имеет вид
(1)
Через 
обозначены неизвестные, подлежащие определению, величины 
, называемые коэффициентами системы, и величины $IMAGE6$, называемые свободными членами, считаются известными. Решением системы (1) называют такую совокупность чисел $IMAGE8$, которая при подстановке в систему (1) на место неизвестных обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений (1) либо не имеет решения, либо имеет единственное решение, либо имеет бесчисленное множество решений. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если решение одной из них является решением другой и наоборот. Коэффициенты системы образуют матрицу, которую называют основной матрицей системы
$IMAGE10$.
Если $IMAGE11$, то матрица $IMAGE12$ является квадратной и ее определитель $IMAGE13$ называется определителем системы. Если определитель квадратной системы уравнений $IMAGE14$ то система имеет единственное решение, определяемое по формулам, называемых формулами Крамера:
$IMAGE15$
Здесь $IMAGE16$- определитель системы, $IMAGE17$определитель матрицы, получаемой из матрицы $IMAGE12$ заменой $IMAGE19$го столбца столбцом ее свободных членов.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений
$IMAGE20$
Решение. Найдем определитель системы
$IMAGE21$ $IMAGE22$ $IMAGE23$ = $IMAGE24$
$IMAGE25$
Далее вычислим определитель $IMAGE26$, заменив первый столбец матрицы системы на столбец свободных членов
$IMAGE27$ $IMAGE28$
Аналогично находим определители $IMAGE29$:
$IMAGE30$
Отсюда по формулам Крамера находим решение системы
$IMAGE31$ $IMAGE32$ $IMAGE33$
Общую систему линейных уравнений вида (1) можно решить методом Гаусса - методом последовательного исключения неизвестных. Исключение неизвестных методом Гаусса удобно выполнять, осуществляя преобразования не с самими уравнениями, а с матрицей их коэффициентов, к которой справа добавлен столбец свободных членов
$IMAGE34$
Полученную матрицу $IMAGE35$ называют расширенной матрицей системы.
Элементарными преобразованиями строк матрицы называют:
Умножение всех элементов строки на число, не равное нулю.
Перестановка строк матрицы.
Прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на общее произвольное число.
Метод Гаусса заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк основную матрицу системы $IMAGE12$ привести к ступенчатому (или треугольному) виду. Если вернуться к уравнениям, то это означает, что неизвестная $IMAGE37$ содержится только в первом уравнении, неизвестная $IMAGE38$- только в первом и втором уравнении и т. д. Таким образом, неизвестные системы частично исключаются из исходных уравнений системы, а полученная новая система уравнений является эквивалентной исходной системе. Рассмотрим решение методом Гаусса на примерах.
Пример 2. Решить систему уравнений
$IMAGE39$ (2)
Решение. Расширенная матрица системы имеет вид
$IMAGE40$ (3)
Поменяем местами первую и вторую строку в матрице (3), чтобы получить
$IMAGE41$ (в этом случае упрощаются последующие вычисления).
$IMAGE40$~ $IMAGE43$ (4)
Символ “~” обозначает эквивалентность матриц. Умножим первую строку полученной матрицы (4) на число (-3) и прибавим соответственно к элементам второй строки, далее первую строку матрицы (4) умножим на число (-5) и прибавим к элементам третьей строки этой матрицы. В результате получим матрицу, которой соответствует система уравнений, содержащая неизвестную $IMAGE37$ только в первом уравнении
$IMAGE43$ ~ $IMAGE46$. (5)
Так как в матрице (5) $IMAGE47$, то, умножая вторую строку этой матрицы на число (-5) и прибавляя ее к третьей строке, получим основную матрицу треугольного вида. Для упрощения разделим элементы последней строки на число (-11):
$IMAGE46$~ $IMAGE49$~ $IMAGE50$ (6)
Расширенной матрице (6) соответствует следующая система уравнений, эквивалентная исходной системе (2)
$IMAGE51$
Отсюда из третьего уравнения получаем $IMAGE52$. Подставляя найденное значение $IMAGE53$ во второе уравнение, определяем неизвестную $IMAGE38$:
$IMAGE55$ $IMAGE56$
Наконец, после подстановки найденных значений $IMAGE57$ в первое уравнение, находим неизвестную $IMAGE37$: $IMAGE59$ Таким образом, решение системы единственное: $IMAGE60$
Пример 3. Решить систему уравнений
$IMAGE61$ (7)
Решение. Запишем и преобразуем расширенную матрицу системы (7)
$IMAGE62$~ $IMAGE63$~
~ $IMAGE64$~ $IMAGE65$~
~ $IMAGE66$~ $IMAGE67$.
Расширенная матрица, полученная на последнем шаге путем вычитания из элементов четвертой строки соответствующих элементов третьей строки, содержит нулевую строку и имеет ступенчатый вид. Отсюда следует, что исходной системе уравнений эквивалентна система из трех уравнений с 4 неизвестными
$IMAGE68$
Неизвестную $IMAGE69$ перенесем в правые части уравнений
$IMAGE70$
Отсюда определяем
$IMAGE71$ $IMAGE72$
$IMAGE73$
Задавая переменной $IMAGE69$ произвольное значение $IMAGE75$, найдем бесконечное множество решений системы
$IMAGE76$
Если расширенная матрица системы приведена к ступенчатому виду, когда в нулевой строке основной матрицы свободный член отличен от нуля, то система не имеет решения. Например, последняя строка имеет вид $IMAGE77$. Тогда соответствующее уравнение системы привелось к неверному равенству $IMAGE78$
Пример 4. Предприятие выпускает три вида товаров, при производстве которых используется три типа ресурсов: рабочая сила, сырье, оборудование. Нормы расхода каждого из них (в условных единицах) на производство единицы каждого товара и объем ресурсов на 1 день заданы таблицей 1.
Таблица 1
| Вид ресурсов | Норма расхода ресурсов на производство ед. товара | Объем ресурсов на 1 день |
| 1 вид | 2 вид | 3 вид |
| Рабочая сила | 1 | 1 | 2 | 800 |
| Сырье | 3 | 2 | 4 | 1700 |
| Оборудование | 2 | 1 | 3 | 1100 |
Найти ежедневный объем выпуска каждого товара.
Решение. Пусть $IMAGE79$ - ежедневный выпуск соответственно товаров 1,2 и 3-го вида. Тогда в соответствии с нормами расхода ресурсов каждого типа имеем систему линейных уравнений, содержащих неизвестные $IMAGE80$
$IMAGE81$
Решим ее методом Гаусса.
$IMAGE82$~ $IMAGE83$~ $IMAGE84$
Отсюда находим $IMAGE85$, т.е. предприятие ежедневно выпускает 100 ед. товаров 1-го вида, 300 ед. товаров 2-го вида и 200 ед. товаров 3-го вида.
Задача для контрольной работы
Кондитерская фабрика специализируется на выпуске изделий трех видов. При этом используется сырье трех типов $IMAGE86$. Нормы расхода каждого из них на одно изделие и общий объем расхода сырья на 1 день заданы таблицей 2. Найти ежедневный объем выпуска каждого вида изделия, построив систему линейных уравнений и решая ее методом Гаусса и по формулам Крамера.
Таблица 2
| Номер варианта | Вид сырья | Норма расхода сырья на 1 изделие | Объем расхода сырья |
| Изделие 1 | Изделие 2 | Изделие 3 |
| 1 | $IMAGE87$ | 3 | |