База рефератов

Министерство образования и науки Российской Федерации

Курсовая работа

По дисциплине: Высшая математика

(Основы линейного программирования)

На тему: КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Выполнил: ______________

Преподаватель:___________

Дата ___________________

Оценка _________________

Подпись ________________

ВОРОНЕЖ 2008

Содержание

1 Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл

1.2 Тройной интеграл

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

2 Криволинейные и поверхностные интегралы

2.1 Криволинейные интегралы

2.2 Поверхностные интегралы

2.3 Геометрические и физические приложения

Список используемой литературы

1 Кратные интегралы

1.1 Двойной интеграл

Рассмотрим в плоскости Оху замкнутую область D, ограниченную линией L. Разобьем эту область какими-нибудь линиями на п частей , а соответствующие наибольшие расстояния между точками в каждой из этих частей обозначим d₁, d₂, ..., d_n. Выберем в каждой части  точку Р_i.

Пусть в области D задана функция z = f(x, y). Обозначим через f(P₁), f(P₂),…, f(P_n) значения этой функции в выбранных точках и составим сумму произведений вида f(P_i)ΔS_i:

, (1)

называемую интегральной суммой для функции f(x, y) в области D.

Если существует один и тот же предел интегральных сумм (1) при  и , не зависящий ни от способа разбиения области D на части, ни от выбора точек P_i в них, то он называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D и обозначается

$IMAGE6$. (2)

Вычисление двойного интеграла по области D, ограниченной линиями $IMAGE7$ x = a, x = b ( a < b ), где φ₁(х) и φ₂(х) непрерывны на [a, b] (рис. 1) сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов, или так называемого двукратного интеграла:

$IMAGE8$

Рис. 1

  $IMAGE9$= $IMAGE10$ (3)

1.2 Тройной интеграл

Понятие тройного интеграла вводится по аналогии с двойным интегралом.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S. Зададим в этой замкнутой области непрерывную функцию f(x, y, z). Затем разобьем область V на произвольные части Δv_i , считая объем каждой части равным Δv_i , и составим интегральную сумму вида

$IMAGE11$, (4)

Предел при $IMAGE12$ интегральных сумм (11), не зависящий от способа разбиения области V и выбора точек P_i в каждой подобласти этой области, называется тройным интегралом от функции f(x, y, z) по области V:

$IMAGE13$ $IMAGE14$ . (5)

Тройной интеграл от функции f(x,y,z) по области V равен трехкратному интегралу по той же области:

$IMAGE15$ $IMAGE16$. (6)

1.3 Кратные интегралы в криволинейных координатах

Введем на плоскости криволинейные координаты, называемые полярными. Выберем точку О (полюс) и выходящий из нее луч (полярную ось).

  $IMAGE17$  $IMAGE18$ 

Рис. 2 Рис. 3

Координатами точки М (рис. 2) будут длина отрезка МО – полярный радиус ρ и угол φ между МО и полярной осью: М(ρ,φ). Отметим, что для всех точек плоскости, кроме полюса, ρ > 0, а полярный угол φ будем считать положительным при измерении его в направлении против часовой стрелки и отрицательным – при измерении в противоположном направлении.

Связь между полярными и декартовыми координатами точки М можно задать, если совместить начало декартовой системы координат с полюсом, а положительную полуось Ох – с полярной осью (рис. 3). Тогда x=ρcosφ, у=ρsinφ . Отсюда $IMAGE19$, tg $IMAGE20$.

Зададим в области D, ограниченной кривыми ρ=Φ₁ (φ) и ρ=Φ₂ (φ), где φ_{1 <} φ < φ₂ , непрерывную функцию z = f(φ, ρ) (рис. 4).

$IMAGE21$

Рис. 4

Тогда

$IMAGE22$ (7)

В трехмерном пространстве вводятся цилиндрические и сферические координаты.

Цилиндрические координаты точки Р(ρ,φ,z) – это полярные координаты ρ, φ проекции этой точки на плоскость Оху и аппликата данной точки z (рис.5).

$IMAGE23$  $IMAGE24$

Рис.5                             Рис.6

Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым можно задать следующим образом:

x = ρ cosφ, y = ρ sinφ, z = z. (8)

В сферических координатах положение точки в пространстве определяется линейной координатой r – расстоянием от точки до начала декартовой системы координат (или полюса сферической системы), φ – полярным углом между положительной полуосью Ох и проекцией точки на плоскость Оху, и θ – углом между положительной полуосью оси Оz и отрезком OP (рис.6). При этом

$IMAGE25$

Зададим формулы перехода от сферических координат к декартовым:

x = r sinθ cosφ, y = r sinθ sinφ, z = r cosθ. (9)

Тогда формулы перехода к цилиндрическим или сферическим координатам в тройном интеграле будут выглядеть так:

$IMAGE26$, (10)

где F₁ и F₂ – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты.

1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов

1) Площадь плоской области S: $IMAGE27$ (11)

Пример 1.

Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями $IMAGE28$

у = 2, у = 5.

Решение.

$IMAGE29$

Эту площадь удобно вычислять, считая у внешней переменной. Тогда границы области задаются уравнениями $IMAGE30$ и

$IMAGE31$

где $IMAGE32$ вычисляется с помощью интегрирования по частям:

$IMAGE33$

Следовательно,

$IMAGE34$

2) Объем цилиндроида, то есть тела, ограниченного частью поверхности S: z = f(x,y) , ограниченной контуром L, проекцией D этой поверхности на плоскость Оху и отрезками, параллельными оси Оz и соединяющими каждую точку контура L с соответствующей точкой плоскости Оху:

$IMAGE35$(12)

3) Площадь части криволинейной поверхности S, заданной уравнением z = f(x,y), ограниченной контуром L:

$IMAGE36$ (13)

где D – проекция S на плоскость Оху.

4) Момент инерции относительно начала координат О материальной плоской фигуры D:

$IMAGE37$ (14)

Пример 2.

Найти момент инерции однородной круглой пластинки

(x – a)² + (y – b)² < 4b² относительно начала координат.

Решение.

В силу однородности пластинки положим ее плотность γ(х,у) = 1.

$IMAGE38$

Центр круга расположен в точке C(a, b), а его радиус равен 2b.

Уравнения границ пластинки имеют вид

$IMAGE39$

$IMAGE40$

Вычислим каждый из полученных интегралов отдельно.

Для вычисления интеграла I₁ сделаем замену: $IMAGE41$

$IMAGE42$ при x = a – 2b $IMAGE43$ при x = a + 2b $IMAGE44$

$IMAGE45$

Для вычисления интеграла I₂ преобразуем подынтегральную функцию по формуле разности кубов:

$IMAGE46$

Тогда

$IMAGE47$

Следовательно, $IMAGE48$

Моменты инерции фигуры D относительно осей Ох и Оу:

$IMAGE49$ (15)

5) Масса плоской фигуры D переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):

$IMAGE50$ (16)

Пример 3.

Найти массу пластинки D плотности γ = ух³, если $IMAGE51$

Решение.

$IMAGE52$

$IMAGE53$

Координаты центра масс плоской фигуры переменной поверхностной плотности γ = γ (х, у):

$IMAGE54$ (17)

Пример 4.

Найти центр тяжести однородной пластины D, ограниченной кривыми у² = ах и $IMAGE55$

Решение.

Так как пластина однородна, т.е. ее плотность постоянна, то можно принять ее за единицу.

$IMAGE56$

Тогда $IMAGE57$

Найдем массу пластины, а для этого определим абсциссу точки пересечения ограничивающих ее линий:

$IMAGE58$

Соответственно

$IMAGE59$

6) Объем тела V:

$IMAGE60$ (18)

Пример 5.

Найти объем тела V, ограниченного поверхностями $IMAGE61$

$IMAGE62$

Решение.

Найдем проекцию тела на плоскость Оху (при этом заметим, что плоскость $IMAGE63$ проектируется на эту плоскость в виде прямой х = 0):

$IMAGE64$

Определим абсциссу точки пересечения кривых у = х² и х + у = 2:

$IMAGE65$ посторонний корень. Тогда, используя формулу (18), получаем:

$IMAGE66$

7) Масса тела V плотности γ = γ (x, y, z):

$IMAGE67$(19)

8) Моменты инерции тела V относительно координатных осей и начала координат:

$IMAGE68$

$IMAGE69$ (20)

$IMAGE70$

$IMAGE71$ (21)

где γ (х, y, z) – плотность вещества.

Статические моменты тела относительно координатных плоскостей Oyz, Oxz, Oxy:

$IMAGE72$ (22)

9) Координаты центра масс тела:

$IMAGE73$

$IMAGE74$  $IMAGE75$

II. Криволинейные и поверхностные интегралы

2.1Криволинейные интегралы

Рассмотрим на плоскости или в пространстве кривую L и функцию f, определенную в каждой точке этой кривой. Разобьем кривую на части Δs_i длиной Δs_i и выберем на каждой из частей точку M_i. Назовем d длину наибольшего отрезка кривой: $IMAGE76$.

Криволинейным интегралом первого рода от функции f по кривой L называется предел интегральной суммы $IMAGE77$, не зависящий ни от способа разбиения кривой на отрезки, ни от выбора точек M_i:

$IMAGE78$ (24)

Если кривую L можно задать параметрически:

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), t₀ ≤ t ≤ T,

то способ вычисления криволинейного интеграла первого рода задается формулой

$IMAGE79$(25)

В частности, если кривая L задана на плоскости явным образом:

у=φ(х), где х₁ ≤ х ≤ х₂, формула (40) преобразуется к виду:

$IMAGE80$. (26)

Теперь умножим значение функции в точке M_i не на длину i-го отрезка, а на проекцию этого отрезка, скажем, на ось Ох, то есть на разность x_i – x_i-1 = Δx_i.

Если существует конечный предел при $IMAGE81$ интегральной суммы $IMAGE82$, не зависящий от способа разбиения кривой на отрезки и выбора точек M_i, то он называется криволинейным интегралом второго рода от функции f(M) по кривой L и обозначается

$IMAGE83$ $IMAGE82$. (27)

Подобным образом можно определить и криволинейные интегралы 2-го рода вида

$IMAGE85$

Если вдоль кривой L определены функции P(M)=P(x, y, z), Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z), которые можно считать компонентами некоторого вектора $IMAGE86$, и существуют интегралы

$IMAGE87$,

тогда их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают

$IMAGE88$.

Если кривая L задана параметрическими уравнениями

x = φ(t), y = ψ(t), z = χ(t), α ≤ t ≤ β ,

где φ, ψ, χ – непрерывно дифференцируемые функции, то

$IMAGE89$. (28)

Связь между двойным интегралом и криволинейным интегралом 2-го рода задается формулой Грина:

$IMAGE90$ (29)

где L – замкнутый контур, а D – область, ограниченная этим контуром.

Необходимыми и достаточными условиями независимости криволинейного интеграла

$IMAGE91$

от пути интегрирования являются:

$IMAGE92$. (30)

При выполнении условий (30) выражение Pdx + Qdy +Rdz является полным дифференциалом некоторой функции и. Это позволяет свести вычисление криволинейного интеграла к определению разности значений и в конечной и начальной точках контура интегрирования, так как

$IMAGE93$

При этом функцию и можно найти по формуле

$IMAGE94$ (31)

где (x₀, y₀, z₀) – точка из области D, a C – произвольная постоянная.

2.2Поверхностные интегралы

Рассмотрим некоторую поверхность S, ограниченную контуром L, и разобьем ее на части S₁, S₂,…, S_п (при этом площадь каждой части тоже обозначим S_п). Пусть в каждой точке этой поверхности задано значение функции f(x, y, z). Выберем в каждой части S_i точку

M_i (x_i, y_i, z_i