База рефератов

Николай Иванович Пичугин, ветеран ВОВ и ВС

Москва 2001 – 2004 год

Статья посвящена исследованию доказательства теоремы Ферма в общем виде. Показано, что кроме уравнения второй степени уравнения Ферма не содержат  других решений в целых числах. Предложено к рассмотрению 4 метода доказательства теоремы при целых x, y. Проблему доказательства теоремы Ферма следует считать закрытой.

Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени  нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.

В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yn + xn =zn (1) на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n, которые могут содержать решения уравнения (1) в целых числах x,y,z, а второе подмножество содержит только нецелые решения.

Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :

(x - a)n + xn –(x+b)n = 0                                                                           (2)

Здесь: x – переменное число, а < x – целое число; n – целое число, показатель степени; b – целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x,a, и n.

Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,z для удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 450 сектору I  квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z  равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости (x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.

Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:

(x–a)n + xn  = 2xn - nxn-1 a  + cn2 xn-2  a2  - cn3  xn-3   a3...... +an           

 (x+b)n       =  xn  +nxn-1 b  + cn2 xn-2 b2   + cn3 xn-3 b3  .......+bn                    

=  xn - nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2-b2) - cn3 xn-3 (a3+b3)..+(an+bn) =0

(3)

Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x, y=(x–a), z=(x+b), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a=b=1. Обоснование принятых  допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая   a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:

  xn - 2nxn-1 a - 2cn3 xn-3 a3  - 2cn5 xn-5 a5  - ... (an + an )=0                (4)

Обозначим через  P(a,n) =  2cn3  xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +... ( an + an ) - добавку после первых двух членов  уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:

xn - 2nxn-1 a - P(a,n) = 0

Разделив все члены уравнения  на  xn-1, получим выражение для искомого x

 x=2na+P(a,n)/xn-1 , где  P(a,n)/xn-1  ³0                                             (5)

 При  a = b = 1 выражение  (5)  примет  вид:

 x=2n+P(1,n)/xn-1                                                                            (6)

Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при  n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P(1,n)/xn-1 .

Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножеству yn + xn =zn

Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования  для n=2,3,4 и 5.

На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:

Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2)  невозможно без учета добавки P(a,n)/xn-1.

Если уравнение  yn + xn =zn с учетом добавки P(a,n) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1,n)/хn-1; у=2n-1+ P(1,n)/хn-1; z=2n+1+ P(1,n)/хn-1, что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1,n)/хn-1 .

Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде

P(1,n)/хn-1=2cn3/ x2 + 2cn5 / x4 +2cn7 / x6... ( 1 + 1 )/xn-1

В числителе каждого члена разложения представлены сочетания cnk, распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра (n+1)/2. В знаменателе функция x2, возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.

Первый член разложения, из-за малости x2 имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателя xn-1 (для n=3 – 2/62 ; для n=15– порядка 2/3014  ; для n=25– 2/5024  и т.п.)

Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.

Известно, что уравнение второй степени  y2 + x2 =z2 решается в целых числах, а её проекцией на плоскость (х,у) является прямоугольный треугольник. Можно предположить, что для более высоких степеней n найдется прямоугольная проекция, при которой решение уравнения Ферма будет происходить при целых x,y,z. Такое предположение оправдано для степени n=3 в объемных прямоугольных координатах x,y,z, в которых для уравнения (x-2a)3 +(x-a)3 +x3 =(x+ b)3 , существуют целые числа 3,4,5,6 и им кратные, которые удовлетворяют условию 33 +43 +53 =63 .

Физически эти числа выражают сумму кубов в целых числах, по аналогии с n=2, где сумма квадратов означает сумму площадей. По сути мы получили новый вариант теоремы Ферма.

Искажения проекций (треугольников) по мере возрастания n обусловлены отражением на плоскости (х,у) несвойственных ей структур более высокого порядка. Отсюда можно заключить, что решения теоремы Ферма в целых числах связаны с наличием прямоугольных проекций, а при нецелых решениях- с искаженными проекциями в виде остроугольных треугольников.

Это подтверждается следующими математическими выкладками. Предварительно решим треугольник АВС из теоремы косинусов относительно cosC, где C –угол между сторонами а и b

сosC= (a2+ b2 -c2)/2ab. Подставим вместо сторон а, b и с их аналоги из треугольных проекций при а = b  =1:

а → x; b → y=x-1; c → z=x+1, где x=2n+P(1,n)/xn-1

После выполнения операций преобразования получим:

cosCn= 0,5-1,5/ xn-1                                        (7)

По полученной формуле проведены расчеты

искажение треугольников при n>

Второй сектор квадранта является аналогом первого- зеркальным отражением первого при y>

В процессе проведения анализа по доказательству теоремы Ферма в общем виде получены 4 компактных метода доказательства теоремы при целых x, y, когда требуется показать , что при n>

Учитывая, что при n>

В этом случае теорема Ферма станет недостоверной или имеющей исключения при n>

Решение уравнений Ферма в нецелых числах при n>