База рефератов

Курсовая работа по информатике

Исполнитель: Солнцев П.В.

Санкт-Петербургский Государственный Технологический Институт (Технический Университет)

Санкт-Петербург 2001

Введение

В решении любой прикладной задачи можно выделить три основных этапа: построение математической модели исследуемого объекта, выбор способа и алгоритма решения полученной модели, численная реализация алгоритма.

Цель данной работы – на примере исследования распределения температуры в тонком цилиндрическом стержне освоить основные методы приближённых вычислений, приобрести практические навыки самостоятельных исследований, существенно опирающихся на использование методов прикладной математики.

Постановка задачи

Физическая модель

В ряде практических задач возникает необходимость исследования распределения температуры вдоль тонкого цилиндрического стержня, помещённого в высокотемпературный поток жидкости или газа. Это исследование может проводиться либо на основе обработки эксперимента (измерение температуры в различных точках стержня), либо путём анализа соответствующей математической модели.

В настоящей работе используются оба подхода.

Тонкий цилиндрический стержень помещён в тепловой поток с постоянной температурой , на концах стержня поддерживается постоянная температура ₀.

1.2 Математическая модель

Совместим координатную ось абсцисс с продольной осью стержня с началом в середине стержня. Будем рассматривать задачу (распределения температуры по стержню) мосле момента установления режима Т₀.

Первая математическая модель использует экспериментальные данные, при этом измеряют температуру U_i стержня в нескольких точках стержня с координатами x_i. Результаты измерения U_i рассматривают как функцию регрессии и получают статистики. Учитывая чётность U(x) можно искать её в виде многочлена по чётным степеням x (ограничимся 4-ой степенью этого многочлена).

 (1.1)

Задача сводится к отысканию оценок неизвестных параметров, т.е. коэффициентов a₀ , a₁ и a₂ , например, методом наименьших квадратов.

Вторая математическая модель, также использующая экспериментальные данные, состоит в применении интерполяционных формул и может употребляться, если погрешность измерений температуры Ui пренебрежимо мала, т.е. можно считать, что U(x_i)=U_i

Третья математическая модель основана на использовании закона теплофизики. Можно доказать, что искомая функция U(x) имеет вид:

 (1.2)

где коэффициент теплопроводности, коэффициент теплоотдачи, D – диаметр стержня, температура потока, в который помещён стержень.

Ищем U(x) как решение краевой задачи для уравнения (1.2) с граничными условиями:

 (1.3)

на отрезке [-L|/2;L/2], где L – длина стержня, _постоянная температура, поддерживаемая на концах стержня.

Коэффициент теплопроводности  зависит от температуры:

	$IMAGE6$

 (1.4)

где _начальное значение коэффициента теплопроводности, _вспомогательный коэффициент.

	$IMAGE7$

Коэффициент теплоотдачи вычисляют по формуле:

 (1.5)

	$IMAGE8$		$IMAGE9$

т.е. как среднее значение функции

за некоторый отрезок времени от 0 до Т, здесь _значение при t стремящемся к бесконечности, b – известный коэффициент.

	$IMAGE10$

Время Т₀, по истечении которого распределение температуры в стержне можно считать установившимся определяется по формуле:

 (1.6)

	$IMAGE11$

где а – коэффициент температуропроводности, наименьший положительный корень уравнения:

 (1.7)

Задание курсовой работы

Вариант № 136

Исходные данные:

L = 0.0386 м

D = 0,00386 м

^оС

_^оС

_141,85 (Вт/м*К)

_2,703*10^-4

6,789*10^-7

_3,383*102 (Вт/м²*К)

218 ^оС

 А = 3,043*10-5 (м²/с)

11

2. Обработка результатов эксперимента.

2.1 Задача регрессии. Метод наименьших квадратов.

	$IMAGE12$

Ищем функцию регрессии в виде (1.1). Оценки коэффициентов находим с помощью МНК, при этом наименьшими будут оценки, обеспечивающие минимум квадратов отклонений оценочной функции регрессии от экспериментальных значений температуры; суммирование ведут по всем экспериментальным точкам, т.е. минимум величины S:

 (2.1)

	$IMAGE13$

В нашем случае необходимым т достаточным условием минимума S будут:

Где k = 0, 1, 2. (2,2)

	$IMAGE14$

Из уравнений (2.1) и (2.2) получаем:

	$IMAGE15$

 (2.3)

	$IMAGE16$		$IMAGE17$

Сумма

	$IMAGE18$

Система (2.3) примет вид:

 (2.4)

	$IMAGE19$

В результате вычислений получаем S_k и V_j. Обозначим матрицу коэффициентов уравнения (2.4) через “p”:

	$IMAGE20$

Методом Гаусса решаем систему (2.4) и найдём обратную матрицу p^-1. В результате получаем:

	$IMAGE21$

Подставляя в (2.1) найденные значения оценок коэффициентов а_к, находим минимальное значение суммы S:

 S_min=0.7597

При построении доверительных интервалов для оценок коэффициентов определяем предварительно точечные оценки.

	$IMAGE22$

Предполагается, что экспериментальные значения x_i измерены с пренебрежимо малыми ошибками, а случайные ошибки измерения величины U_i независимы и распределены по нормальному закону с постоянной дисперсией ^, которая неизвестна. Для имеющихся измерений температуры U_i неизвестная дисперсия оценивается по формуле:

	$IMAGE23$

Где r – число степеней свободы системы, равное разности между количеством экспериментальных точек и количеством вычисляемых оценок коэффициентов, т.е. r = 3.

	$IMAGE24$

Оценка корреляционной матрицы имеет вид:

 

	$IMAGE25$

Оценки дисперсий параметров оценок коэффициентов найдём по формулам:

 Где S_k – минор соответствующего диагонального элемента матрицы нормальной системы;

 главный определитель нормальной системы.

В нашем случае:

S₀=3.5438 10^-22

S₁=-8.9667 10^-14

S₂=6.3247 10^-7

	$IMAGE26$

Откуда:

	$IMAGE27$

Найденные оценки коэффициентов распределены по нормальному закону, т.к. линейно зависят от линейно распределённых экспериментальных данных Ui.

	$IMAGE28$

Известно, что эти оценки несмещённые и эффективные. Тогда случайные величины:

 Имеют распределения Стьюдента, а r = 3.

	$IMAGE29$

Выбираем доверительную вероятность =0,9 и по таблице Стьюдента находим критическое значение _равное 2,35, удовлетворяющее равенству:

	$IMAGE30$

Доверительные интервалы для коэффициентов:

 (2.4*)

	$IMAGE31$

В нашем случае примут вид:

$IMAGE32$

2.2 Проверка статистической гипотезы об адекватности модели задачи регрессии.

	$IMAGE33$

Имеется выборка объёма n экспериментальных значений (x_i;U_i). Предполагаем, что ошибки измерения x_i пренебрежимо малы, а случайные ошибки измерения температур U_i подчинены нормальному закону с постоянной дисперсией ^Мы выбрали функцию регрессии в виде:

	$IMAGE34$

Выясним, нельзя ли было ограничиться многочленом второго порядка, т.е. функц