Контрольная работа (вариант 8)
1. Найти неопределенные интегралы:
2. Интегрирование по частям
Вычислить определенные интегралы:
3. 
=8-6,92=1,08
Интегрирование по частям
4. 
5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями
. Построить чертеж.
Решение.
В декартовой системе координат построим линии и найдем точки их пересечения.
Объем тела вращения по формуле $IMAGE6$
Точки пересечения линий
$IMAGE7$
$IMAGE8$ $IMAGE7$
$IMAGE10$
(второй вариант не подходит, т.к. отрицателен)
Отсюда $IMAGE11$
Границы фигуры:
$IMAGE12$
Фигура симметрична относительно оси ОУ, поэтому
Объем тела
$IMAGE13$
$IMAGE14$
6. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу вида y=ax+b для функции, заданной следующей таблицей:
| X | 3.3 | 3.5 | 3.7 | 3.9 | 4.1 |
| Y | 13 | 13.5 | 11.4 | 11.2 | 9.7 |
Изобразить графически таблично заданную и соответствующую линейную функции. По эмпирической формуле вычислить значение переменной при х=4,0
Решение
Заполним таблицу
| $IMAGE15$ | $IMAGE16$ | $IMAGE17$ | $IMAGE16$2 | $IMAGE16$ $IMAGE17$ |
| 1 | 3,3 | 13 | 10,89 | 42,9 |
| 2 | 3,5 | 13,5 | 12,25 | 47,25 |
| 3 | 3,7 | 11,4 | 13,69 | 42,18 |
| 4 | 3,9 | 11,2 | 15,21 | 43,68 |
| 5 | 4,1 | 9,7 | 16,81 | 39,77 |
| $IMAGE7$S | 18,5 | 58,8 | 68,85 | 215,78 |
Составим для определения коэффициентов систему уравнений вида:
$IMAGE22$
Получим
$IMAGE23$
Решая систему методом исключения определяем:
$IMAGE24$
Искомая эмпирическая формула y=28.23-4.45x
Значение переменной при x=4.0
y=28.23-4.45*4=10.43
7. Исследовать сходимость ряда.
$IMAGE25$
Исследуем ряд сначала на абсолютную сходимость. Общий член ряда
$IMAGE26$
В свою очередь ряд $IMAGE27$ расходится как гармонический. Значит абсолютной сходимости у исходного ряда нет. Исследуем на условную сходимость по признаку Лейбница.
1) $IMAGE28$ при $IMAGE29$
2)
$IMAGE30$
действительно для $IMAGE31$
По признаку Лейбница, исходный ряд сходится условно.
