Вариант 2
I. Вычислить интегралы
Преобразуем подынтегральное выражения с целью его непосредственного интегрирования:
Найдем А и В:
Отсюда видно что А и В являются решением системы:
Решим эту систему и найдем А и В:
Итак, A=3/5, B=7/5, зная эти коэффициенты, вычисляем интеграл.
$IMAGE6$
$IMAGE7$ с помощью замены переменных
$IMAGE8$
Введем $IMAGE9$ и возьмем соответствующий неопределенный интеграл:
$IMAGE10$
Возвращаемся к x:
$IMAGE11$
Теперь вычисляем определенный интеграл:
$IMAGE12$
Итак,
$IMAGE13$
3. $IMAGE14$ методом интегрирования по частям
$IMAGE15$
Итак,
$IMAGE16$
II. Функции многих переменных
1. Найти частные производные 1-го порядка
$IMAGE17$
$IMAGE18$
$IMAGE19$
2. Исследовать на экстремум функцию
$IMAGE20$
Найдем частные производные
$IMAGE21$
$IMAGE22$
Найдем все стационарные точки функции, точки в которых должны выполняться условия: $IMAGE23$, $IMAGE24$
$IMAGE25$
$IMAGE26$
Это равносильно следующему:
$IMAGE27$
$IMAGE28$
$IMAGE29$
$IMAGE30$
Вторая система не имеет вещественного корня
$IMAGE28$
$IMAGE32$
$IMAGE33$
$IMAGE33$
$IMAGE35$
t= 0 t=1
y=1 y=-1
x=1
M0(0;0) и M1(1;1) – стационарные точки данной функции.
Теперь определим характер этих стационарных точек.
Найдем частные производные второго порядка этой функции.
$IMAGE36$
В точке M0(0;0):
$IMAGE37$
Так как $IMAGE38$<0, то экстремума в точке M0(0;0) нет.
В точке M1(1;1):
$IMAGE39$
Так как $IMAGE38$>0,A>0,C>0 то точка M1(1;1) это точка экстремума,
Причем этот экстремум-минимум.
III. Решить дифференциальные уравнения.
1. Решить уравнение с разделяющимися переменными
$IMAGE41$
$IMAGE42$
Интегрируем правую и левую части уравнения:
$IMAGE43$
$IMAGE44$
После некоторых преобразований выражаем решение уравнения:
$IMAGE45$
2. Решить линейное уравнение 1-го порядка
$IMAGE46$
Ищем решение уравнения в виде произведения двух функций: $IMAGE47$
При этом:
$IMAGE48$
После подстановки в исходное уравнение имеем:
$IMAGE49$
$IMAGE50$
Чтобы коэффициент при u обратился в 0, в качестве v выбираем функцию удовлетворяющую уравнению:
$IMAGE51$
Найдем функцию u, которая должна удовлетворять уравнению:
$IMAGE52$:
Решение запишется в виде:
$IMAGE53$
3 $IMAGE54$
Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение ищем в виде:
$IMAGE55$, где $IMAGE56$ - общее решение соответствующего однородного уравнения, $IMAGE57$ - частное решение.
Найдем $IMAGE56$
Решим однородное дифференциальное уравнение
$IMAGE59$
Характеристическое уравнение для него:
$IMAGE60$
Это квадратное уравнение
d=36-100=-64 – дискриминант отрицательный, корни комплексные:
k1=3-4i ; k2=3+4i
Общее решение, следовательно, имеет вид:
$IMAGE61$,
где $IMAGE62$ - константы.
Ищем частное решение. Функция свободного члена имеет вид:
$IMAGE63$, где a=2,b=3,k=1,p=-6,q=25
При этом $IMAGE64$, следовательно, частное решение ищем в виде:
$IMAGE65$
Находим его производные первого и второго порядка и подставляем в уравнение:
$IMAGE66$
Для нахождения коэффициентов А и В решим систему:
$IMAGE67$
A=0,07, B=0,16
Таким образом, окончательное решение уравнения имеет вид:
$IMAGE68$
IV. Ряды
1. Исследовать на сходимость ряд с положительными членами
$IMAGE69$
Рассмотрим ряд:
$IMAGE70$
Это степенной ряд с основанием меньшим 1, а он заведомо сходится.
Теперь сравним члены ряда $IMAGE71$ с членами ряда $IMAGE72$
$IMAGE73$ при n>4 , значит ряд $IMAGE71$ также сходится.
2. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд:
$IMAGE75$
Исследуем на абсолютную сходимость (сходимость ряда, состоящего из модулей членов знакопеременного ряда) значит необходимый признак сходимости выполняется.
$IMAGE76$,
Сравним член этого ряда с членом заведомо расходящегося гармонического ряда:
$IMAGE77$, следовательно наш ряд расходится абсолютно.
Исследуем ряд на условную сходимость:
Так как условия признака Лейбница выполнены
$IMAGE78$
данный ряд сходится условно.
3. Найти область сходимости функционального ряда
$IMAGE79$, перепишем его в виде:
$IMAGE80$
Член данного ряда представляет собой член степенного ряда, помноженный на член гармонического ряда.
Для расходящегося гармонического ряда выполняется однако основной признак сходимости (его член стремится к нулю), так что сходимость функционального ряда $IMAGE81$ определяется сходимостью степенного ряда: $IMAGE82$, причем при любом x это будет знакопостоянный ряд.
Cтепенной же ряд сходится когда его член по модулю <1:
$IMAGE83$
Решаем это модульное неравенство и находим область сходимости функционального ряда $IMAGE81$:
$IMAGE83$
$IMAGE86$
Итак, область сходимости функционального ряда $IMAGE81$:
$IMAGE88$