Введение. Возникновением теории чисел мы, по большому счёту, обязаны Минковскому. Минковский (Minkowski), Герман - выдающийся математик (1864 - 1909), еврей, родом из России. Был профессором в Бонне, Кенигсберге, Цюрихе и Геттингене. Сблизил теорию чисел с геометрией, создав особое учение о "геометрии чисел" ("Geometrie der Zahlen", 1896 - 1910; "Diophantische Approzimationen", 1907, и др.). Последняя его работа: "Raum und Zeit" (Лейпциг.,1909; несколько русских переводов); здесь дана смелая математическая формулировка так называемого "принципа относительности". Полное собрание сочинение Минковского вышло в Лейпциге, в 1911 г.; биография Минковского в русском издании "Пространство и время". Таким образом, Минковский сделал большой вклад в развитие математики как науки. В частности, он сумел упростить теорию единиц полей алгебраических чисел, а также упростил и развил теорию аппроксимации иррациональных чисел рациональными, или теорию диофантовых приближений. Под диофантовыми приближениями в данном случае понимается раздел теории чисел, изучающий приближения действительных чисел рациональными и вопросы, связанные с решением в целых числах линейных и нелинейных неравенств с действительными коэффициентами. Это новое направление, которое Минковский назвал „геометрией чисел", развилось в независимый раздел теории чисел, имеющий много приложений в самых различных вопросах и вместе с тем достаточно интересный для самостоятельного изучения.
Постановка задачи. Для начала я хочу рассмотреть некоторые понятия и результаты, играющие в дальнейшем основную роль. Рассуждения, которыми мы здесь пользуемся, иногда значительно отличаются от рассуждений в основных книгах по данному вопросу, так как в данной работе мы имеем целью, не давая полных доказательств, сделать для простейших случаев геометрическую ситуацию интуитивно ясной, тогда как позднее мы будем вынуждены жертвовать наглядностью ради точности. В работе рассматривается основная задача геометрии чисел, приводится теорема Минковского с её доказательством, и объясняются такие понятия геометрии чисел как решётки и критические решётки. В конце работы приводится так называемая «неоднородная задача» геометрии чисел.
Основная задача геометрии чисел. Основной и типичной задачей геометрии чисел является следующая задача. Пусть f(х1,…,xn) — функция вещественных аргументов, принимающая вещественные значения. Как мал может быть f(u1,…,un) при подходящем выборе целых чисел u1,…,un? Может встретиться тривиальный случай f(0,…,0)=0, например, если f(х1,…,xn) является однородной формой; в этом случае совокупность значений u1 = u2 = ... = un = 0 из рассмотрения исключается (“однородная проблема”). Обычно рассматриваются оценки, применимые не только для конкретных функций f, но и для целых классов функций. Так, типичным результатом такого рода является следующее предложение. Пусть f(x1,x2) = a11x12 + 2a12x1x2 + a22x22 (1) - положительно определённая квадратичная форма. Тогда найдутся такие целые числа u1,u2, не равные одновременно нулю, что справедливо неравенство f(u1,u2) (4D/3)1/2 (2) где D = a11a22 – a122 – определитель формы. Ясно, что если этот результат верен, то он является наилучшим. Действительно, u12 + u1u2 + u22 1 для всех пар целых чисел u1,u2, не равных одновременно нулю; здесь D = 3/4. Конечно, случай положительно определённых бинарных квадратичных форм крайне прост, и результат задачи был известен задолго до возникновения геометрии чисел. Однако на положительно определённых бинарных квадратичных формах относительно просто проводятся некоторые рассуждения геометрии чисел, так что эти формы удобно использовать в качестве иллюстрации всех рассуждений. Только что сформулированный результат можно выразить наглядно. Неравенство типа f(x1,x2) k, где f(x1,x2) — форма (1), а k — некоторое положительное число, задает область плоскости {x1,x2}, ограниченную эллипсом. Таким образом, наше предложение утверждает, что если k (4D/3)1/2, то область содержит точку (u1,u2) с целыми координатами u1 и u2, не равными одновременно нулю.
Теорема Минковского. Аналогичный, но, правда, не настолько точный результат немедленно следует из основной теоремы Минковского. В двумерном случае эта теорема утверждает, что область всегда содержит точку (u1,u2) с целыми координатами, отличную от начала, если эта область удовлетворяет следующим трем условиям: область симметрична относительно начала координат; т. е. если точка (x1,x2) находится в , то точка (-x1,-x2) также содержится в ; область выпукла; т. е. если (x1,x2), (y1,y2) — две какие-нибудь точки области , то и весь отрезок {x1 + (1-)y1, x2 + (1-)y2}, 0 1, соединяющий эти точки, также содержится в ; 3) площадь больше 4. Любой эллипс f(x1,x2) k удовлетворяет условиям 1) и 2). Так как его площадь равна k / (a11a22 – a12)1/2 = k / D1/2, то он удовлетворяет условию 3), если k > 4D1/2. Таким образом, мы имеем результат, аналогичный приведенному выше предложению, если в (2) константу (4/3)1/2 заменить любым числом, большим 4/.
Доказательство теоремы Минковского. Интересно будет кратко рассмотреть основные идеи, лежащие в основе доказательства теоремы Минковского, потому что в формальных доказательствах, приводимых основными источниками, они заслоняются необходимостью получения сильных теорем, имеющих наиболее широкие приложения.  Вместо области Минковский рассматривает область = /2, которая состоит из точек (x1/2,x2/2), где (x1,x2) точки области . Таким образом, область симметрична относительно начала координат и выпукла, её площадь равна четверти площади области и, следовательно, больше 1. В общем случае Минковский рассматривает совокупность областей (u1,u2) с центрами в целочисленных точках (u1,u2), полученных из тела параллельными переносами. Для начала справедливо отметить, что если и (u1,u2) пересекаются, то точка (u1,u2) находится в . Обратное утверждение тривиально. Если точка (u1,u2) находится в , то точка (u1/2,u2/2) содержится как в , так и в (u1,u2). Действительно, пусть (ξ1, ξ2) – точка, лежащая в пересечении. Так как точка (ξ1, ξ2) лежит в области (u1,u2), то тогда точка (ξ1 – u1, ξ2 – u2) лежит в области ; следовательно, ввиду симметрии области точка (u1 - ξ1, u2 - ξ2) находится в . Наконец, в силу выпуклости тела середина отрезка, соединяющего точку (u1 - ξ1, u2 - ξ2) с точкой (ξ1, ξ2), то есть точка (u1/2,u2/2), лежит в , а потому точка (u1,u2) находится в . Что, собственно, и требовалось доказать. Ясно, что область (u1,u2) тогда и только тогда пересекается с областью (u1’,u2’), когда область пересекается с областью (u1 - u1’, u2 - u2’). Таким образом, чтобы теорема Минковского была доказана, достаточно показать, что если области (u1,u2) не пересекаются, то площадь области (u1,u2) не превышает 1. Небольшое размышление убеждает, что так должно быть. Другое обоснование, возможно интуитивно более ясное, можно получить, полагая, что область целиком содержится в квадрате x1 ≤ X, |x2| ≤ X, при этом нужно учитывать то, что выпуклая область конечной площади ограничена. Пусть U — достаточно большое целое число. Существует (2U + 1)2 областей (u1,u2), координаты центров которых удовлетворяют неравенствам u1 ≤ U, |u2| ≤ U. Все эти области целиком находятся в квадрате x1 ≤ U + X, |x2| ≤ U + X, площадь которого равна 4 (U + X)2. Так как предполагается, что области (u1,u2) не пересекаются, то имеет место неравенство (2U + 1)2V 4(U + X)2, где V – площадь области , а значит, и любой области (u1,u2). Устремляя теперь U к бесконечности, мы получаем неравенство V 1, что и требовалось доказать.
Решётки. Преобразование координат в приведённом примере с определённой бинарной квадратичной формой может привести и к другой точке зрения. Мы можем представить форму f(x1,x2) как сумму квадратов двух линейных форм f(x1, x2) = Х12 + Х22, (3) где Х1 = x1 + x2, X2 = x1 + x2, (4) ,,, - некоторые постоянные вещественные числа. Можно, например, положить = a111/2, = a11-1/2a12, = 0, = a11-1/2D1/2. Обратно, если ,,, - такие вещественные числа, что - 0, и формы Х1, Х2 заданы равенствами (4), то выражение Х12 + Х22 = a11x12 + 2a12x1x2 + a22x22, г  де a11 = 2 + 2, a12 =
![]()
![]()
|