Дисциплина: Высшая математика
Тема: Геометрические векторы
1. Геометрические векторы. Основные определения
В математике, физике, теоретической механике приходится иметь дело с величинами двух типов: одни имеют чисто числовой характер; другие же имеют не только числовую характеристику, но и связаны с понятием о направлении в пространстве. Рассмотрим, например, температуру, массу, энергию, скорость, ускорение, силу. Отличие последних трех величин от первых трех состоит в том, что с ними должно быть связано понятие о направлении. Первые три величины, не связанные с понятием о направлении, называются скалярами. Остальные три величины, имеющие определенное направление, называются векторами.
Так, при измерении температуры, мы получим положительное или отрицательное число, характеризующее ее величину в градусах. Точно так же можно измерить массу, энергию.
Определение 1. Скаляром называется величина, характеризующаяся только числом.
Следовательно, скаляры - это обычные числа, и различие между двумя одинаковыми числами может заключаться лишь в их размерности (м и см, м и кг).
Если необходимо измерить такую величину, как скорость точки, то для этого знать два числа (путь и время) недостаточно. Необходимо еще знать, куда двигается точка, то есть ее направление движения.
Определение 2. Вектором называется величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением в пространстве.
Следовательно, утверждать, что если обе точки движутся со скоростью 2 
, то их скорости равны, нет никакого основания. Необходимо знать в какие стороны они двигаются.
Из сказанного следует, что для описания скаляра достаточно написать число и указать его размерность. Для описания векторной величины используют направленные отрезки, длина которых при выбранном масштабе соответствует величине вектора, а направление - совпадает с направлением векторной величины. В дальнейшем эти отрезки и будем называть геометрическими векторами.
При изображении вектора одна точка, ограничивающая вектор, называется началом, а вторая - концом вектора. В конце вектора ставится стрелка. Для краткой записи вектор можно обозначить с помощью двух букв 
(первая соответствует началу, вторая - концу) или же одной буквы 
(здесь начало и конец не обозначены).
Определение 3. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается $IMAGE6$ или $IMAGE7$.
Определение 4. Вектор, у которого конец совпадает с началом, называется ноль вектором и обозначается $IMAGE8$.
Определение 5. Векторы называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или параллельных прямых. Векторы называются коллинеарными, если они расположены в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Определение 6. Два вектора и $IMAGE10$ называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и равны по длине.
Записывается это так $IMAGE11$.
Из определения 6 следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства. При этом каждый новый вектор будет равен исходному.
Однако следует отметить, что все сказанное выше связано с так называемыми свободными векторами. Кроме них существуют еще передвижные и определенные векторы. У свободных векторов точку приложения можно выбирать где угодно. У передвижных - точку приложения можно перемещать вдоль самого вектора (например, сила, приложенная к твердому телу). У определенных векторов точка приложения должна быть зафиксирована (например, сила, действующая на жидкость). Но изучение всех векторов можно, в конечном счете, свести к изучению свободных векторов, поэтому в дальнейшем мы будем заниматься только ими.
2. Простейшие операции над векторами
К простейшим операциям над векторами относится сложение и вычитание векторов и умножение вектора на скаляр. Все эти операции называются линейными.
1) Сложение векторов.
Определение 1. Чтобы найти сумму двух векторов и $IMAGE13$, необходимо конец вектора совместить с началом $IMAGE13$. Вектор $IMAGE16$, соединяющий точки $IMAGE17$ и $IMAGE18$, будет их суммой.
$IMAGE19$
$IMAGE20$
Обозначается сума следующим образом: $IMAGE21$. Величину ее можно найти и другим способом. Начала векторов и $IMAGE13$ совмещаются и на них как на сторонах строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма и будет суммой векторов.
$IMAGE24$
$IMAGE25$ $IMAGE26$
Из правила параллелограмма видно, что сумма векторов обладает переместительным свойством
$IMAGE27$.
Если слагаемых больше, например, три: $IMAGE28$, поступают следующим образом. Строят вначале сумму $IMAGE29$, а затем, прибавляя $IMAGE30$, получают вектор $IMAGE31$.
$IMAGE32$
$IMAGE33$
Из рисунка видно, что тот же результат будет, если сложить вначале $IMAGE34$, а затем прибавить , то есть сумма векторов обладает сочетательным свойством:
$IMAGE36$.
Если при сложении нескольких векторов конец последнего совпадает с началом первого, то сумма равна ноль вектору $IMAGE8$. Очевидно, $IMAGE38$.
2) Разность векторов.
Определение 2. Разностью двух векторов и $IMAGE10$ называется такой вектор $IMAGE41$, сумма которого с вычитаемым $IMAGE10$ дает вектор .
Значит, если $IMAGE44$, то $IMAGE45$.
Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения разности. Откладываем из общей точки векторы и $IMAGE10$. Вектор $IMAGE30$ соединяет концы векторов и $IMAGE10$ и направлен от вычитаемого к уменьшаемому.
$IMAGE51$ $IMAGE52$
Видно, что если на векторах и $IMAGE10$ построить параллелограмм, то одна его диагональ соответствует их сумме, а вторая - разности.
3) Умножение вектора на число.
Определение 3. Произведением вектора на число $IMAGE56$ называется вектор $IMAGE10$, определенный следующими условиями:
1) $IMAGE58$;
2) вектор $IMAGE10$коллинеарен вектору ;
3) векторы и $IMAGE10$ направлены одинаково, если $IMAGE63$, и противоположно, если $IMAGE64$.
Очевидно, что операция умножения вектора на число приводит к его растяжению или сжатию. Противоположный вектор $IMAGE65$ можно рассматривать как результат умножения вектора на $IMAGE67$. Отсюда,
$IMAGE68$.
Из определения 3 следует, что если $IMAGE69$, то векторы и $IMAGE10$ коллинеарны. Отсюда вытекает определение коллинеарности векторов.
Определение 4. Любые два вектора и $IMAGE10$ коллинеарны, если связаны соотношением $IMAGE69$, где $IMAGE56$ - некоторое число.
Величину $IMAGE56$ можно определить из отношения $IMAGE77$. Оно положительно, если векторы направлены в одну сторону, и наоборот отрицательно, если направление векторов противоположно.
Из построения параллелограмма легко убедиться, что умножение вектора на число обладает распределительным свойством:
$IMAGE78$; $IMAGE79$
и сочетательным свойством
$IMAGE80$.
Определение 5. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом.
Обозначаются единичные векторы символами $IMAGE81$ или $IMAGE82$.
Используя понятие единичного вектора, любой вектор можно представить следующим образом: $IMAGE83$.
3. Проекция вектора на ось
В процессе выполнения простейших операций иногда приходится сталкиваться с таким понятием, как проекция вектора на какую-либо ось. Введем вначале понятие угла между векторами.
Определение 1. Углом между векторами и $IMAGE10$ называется наименьший угол $IMAGE86$, на который надо повернуть один из векторов до совмещения со вторым.
$IMAGE87$
$IMAGE88$
Положительным считается отсчет угла против часовой стрелки.
Пусть необходимо найти проекцию вектора на ось $IMAGE90$. Выберем на оси начало отсчета 0 и масштаб. Совместим с началом отсчета единичный вектор $IMAGE91$. Тогда угол между и осью $IMAGE90$ будет равен углу $IMAGE86$ между и $IMAGE91$. Спроецируем начало и конец вектора на ось $IMAGE90$. Тогда длина отрезка $IMAGE98$, а $IMAGE99$. Длина же проекции вектора :
$IMAGE101$.
$IMAGE102$
$IMAGE103$
Рис. 1
Определение 2. Проекцией вектора на ось $IMAGE105$ называется разность между координатами проекций конца и начала вектора на ось $IMAGE105$.
Очевидно, что если $IMAGE86$ - острый угол, проекция положительна; если $IMAGE86$ - тупой угол, то отрицательна; если $IMAGE110$, то проекция равна нулю.
Теорема 1. Проекция вектора на ось $IMAGE90$ равна произведению модуля этого вектора на косинус угла между ними:
$IMAGE113$.
Доказательство теоремы вытекает из Рис. 1.
Теорема 2. Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось.
Доказательство. Пусть $IMAGE114$. Обозначим проекцию точки $IMAGE17$ через $IMAGE116$, точки $IMAGE117$ - через $IMAGE118$, точки $IMAGE119$ - через $IMAGE120$.
$IMAGE121$
$IMAGE122$
Тогда
$IMAGE101$; $IMAGE124$; $IMAGE125$.
Но
$IMAGE126$.
Теорема 3. Если вектор умножить на число $IMAGE56$, то его проекция на ось умножится на то же число.
Докажем для случая $IMAGE63$:
$IMAGE130$.
Если $IMAGE64$, то
$IMAGE132$.
Литература
1. Артамонов Вячеслав Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. Изд-во: Факториал, Факториал Пресс, 2007. - 128с.
2. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. Издательство: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. - 584c.
3. Клейн Ф. Высшая геометрия. изд. - 2. Издательство: Едиториал УРСС, 2004. - 400c.
4. Клейн Ф., Феликс Христиан Клейн Высшая геометрия: Пер. с нем. Изд.3. ЛИБРОКОМ, 2009. - 400c.