КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 4
ВАРИАНТ 4.3
№ 1.
а) Найти производные от данных функций:
б) 
Применяем правило нахождения производной произведения функций
в)
№ 2
Дана функция 
Найти:
а) координаты вектора grad u в точке А (-1,3,2)
По определению:
$IMAGE6$
б) $IMAGE7$в точке А в направлении вектора а{2,-6,-3}
По определению:
$IMAGE8$
Величины $IMAGE9$ найдены в п.а)
Найдем cosб, cosв, cosг.
$IMAGE10$
По формуле получаем:
$IMAGE11$
№ 3.
Дана функция $IMAGE12$.
Найти y”. Вычислить y”(-1).
$IMAGE13$
№ 4.
Доказать, что функция $IMAGE14$ удовлетворяет уравнению
$IMAGE15$
подставляем найденные выражения в уравнение, получаем: $IMAGE16$, что и требовалось доказать.
№5
Найти $IMAGE17$ если $IMAGE18$
Вычислить $IMAGE17$ если $IMAGE20$.
Воспользуемся формулами нахождения производных для функций, заданных параметрически
$IMAGE21$
№ 6.
Функции задана неявно уравнением
$IMAGE22$
Вычислить:
а) $IMAGE23$
Вычисления проводим по формуле
$IMAGE24$
б)
$IMAGE25$
№ 7.
На графике функции y=ln2x взята точка А. Касательная к графику в точке А наклонена к оси ОХ под углом, тангенс которого равен ј. Найти абсциссу точки А.
Из геометрического смысла производной $IMAGE26$ имеем
$IMAGE27$
№ 8.
Найти dy, если у=х6. Вычислить значение dy, если
$IMAGE28$
Для $IMAGE29$ имеем
$IMAGE30$
№ 9.
Дана функция $IMAGE31$ и точки $IMAGE32$ и $IMAGE33$
Вычислить Дz и dz при переходе из точки М0 в точку М1 . Приращение функции Дz равно
$IMAGE34$
Дифференциал функции dz равен
$IMAGE35$
№ 10.
Дана функция $IMAGE36$. Найти ее наибольшее и наименьшее значения на отрезке [0;6]. Найдем $IMAGE37$
$IMAGE38$
Приравниваем числитель к нулю при условии $IMAGE39$
$IMAGE40$
Решение $IMAGE41$ отбрасываем.
$IMAGE42$ совпадает с граничным значением.
Найдем значение функции в точках x=0 и x=6.
$IMAGE43$
Наибольшее значение функции на отрезке [0;6] равно $IMAGE44$, наименьшее равно 3.
$IMAGE45$
№ 11
Дана функция $IMAGE46$.
Найти ее наибольшее и наименьшее значения на замкнутом множестве, ограниченном прямыми $IMAGE47$.
Найдем стационарные точки из системы уравнений
$IMAGE48$
Решаем систему уравнений
$IMAGE49$
Сделаем чертеж
На участке границы х=-1 функция z(х,у) превращается в функцию одной переменной
$IMAGE50$
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на обрезке [-1;2]. Имеем $IMAGE51$, отсюда $IMAGE52$. Это значение не принадлежит отрезку [-1;2]. Z(-1)=5. Z(2)=4+6+7=17.
На участке у=-1 получаем
$IMAGE53$
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на отрезке [-1;2]. Имеем $IMAGE54$, отсюда $IMAGE55$.
Находим
$IMAGE56$
На участке границы у=1-х получаем функцию
$IMAGE57$
Найдем наибольшее и наименьшее значение этой функции на участке [-1;2].
$IMAGE58$
На границах отрезка
$IMAGE59$
Сравниваем все найденные значения функции
$IMAGE60$
видим, что наибольшее значение достигается в точке (2;-1) и равно 23, а наименьшее равно 4 и достигается в точке (0;0).
Ответ: 23;4.
№ 12.
Провести полное исследование функции $IMAGE61$ и начертить ее график.
1. Найдем область определения функции $IMAGE62$.
Функция непериодична.
2. Установим наличие симметрии относительно оси OY или начала координат по четности или нечетности функции $IMAGE63$, симметрии нет.
3. Определим «поведение функции в бесконечности»
$IMAGE64$
4. Точка разрыва х=-2
$IMAGE65$
5. найдем пересечение кривой с осями координат
$IMAGE66$ т.А (0;2)
$IMAGE67$
Корней нет, нет пересечения с осью OY.
6. Найдем точки максимума и минимума $IMAGE68$
$IMAGE69$
$IMAGE70$
в точке $IMAGE71$ производная меняет знак с <-> на <+>, следовательно имеем минимум, в точке $IMAGE72$ производная меняет знак с <+> на <->, имеем максимум.
При $IMAGE73$ первая производная отрицательна, следовательно, функция убывает, при $IMAGE74$ производная положительна, функция в этих промежутках возрастает.
7. Найдем точки перегиба
$IMAGE75$, точек перегиба нет. При $IMAGE76$ вогнутость вверх, при $IMAGE77$, вогнутость вниз.
8. Найдем горизонтальные и наклонные асимптоты в виде $IMAGE78$, где
$IMAGE79$
Получили асимптоту у=х.
Найдем пересечение кривой с асимптотой
$IMAGE80$ Точек пересечения нет.
Строим график