Контрольная работа

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны, окажется черным.

     Решение

Пусть гипотезы       и        состоят в том что:

- $IMAGE6$Из первой урны извлекли черный шар, вероятность

            - извлекли белый шар, вероятность

Гипотезы несовместны и сумма их вероятностей равна 1. Значит, гипотезы образуют полную группу.

Пусть событие А состоит в том, что из второй урны извлекут черный шар. Если происходит событие Н1 то во второй урне станет 6+1=7 черных и 4 белых шара. В этом случае вероятность наступления А равна

$IMAGE7$

Если же происходит событие Н2 то во второй урне станет 6 черных и 4+1=5 белых шаров. Вероятность наступления А

$IMAGE8$

По формуле полной вероятности вычислим вероятность события А (из второй урны вынут черный шар)

$IMAGE9$

Ответ: 0,60

   

   5. Студент знает 40 из 50 вопросов программы. Найти вероятность того, что студент знает 2 вопроса, содержащиеся в его экзаменационном билете.

Решение

     Для каждого вопроса вероятность того что студент его знает, одинакова

$IMAGE10$

  

Найдем вероятность того, что в двух испытаниях событие А (студент знает вопрос) произойдет 2 раза по формуле Бернулли

	$IMAGE11$

Ответ: 0,64

11. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин., равно четырем. Найти вероятность того, что за 2 мин. поступит: 1) 6 вызовов; 2) менее шести вызовов; 3) не менее шести вызовов. Предполагается, что поток вызовов – простейший.

Решение

$IMAGE12$     Интенсивность потока

     Время t=2

$IMAGE13$
  По формуле Пуассона, вероятность того что за время t поступит k вызовов, равна

1)

2)

	$IMAGE14$

  

	$IMAGE15$

3)

                

15. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 мин, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 мин прибудут: 1) 4 самолета; 2) менее четырех самолетов; 3) не менее четырех самолетов.

	$IMAGE16$

 По формуле Пуассона, вероятность того что за время t поступит k вызовов, равна

$IMAGE17$1)

	$IMAGE18$

2)

 

$IMAGE19$3)

    

21-30. Для дискретной случайной величины Х, определенной в задаче:

1).написать ряд распределения; 2).построить многоугольник распределения;

3).вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение; 4).построить интегральную функцию распределения.

   21. Вероятность того, что в библиотеке необходимая книга свободна, равна 0,3. В городе 4 библиотеки. СВ Х – число библиотек, которые посетит студент в поисках необходимой книги.

Решение

Случай ная величина Х может принимать такие значения

Х=1 – если студент найдет книгу в первой же библиотеке

Х=2 –если в первой не найдет а найдет во второй

Х=3- если не найдет в первой и второй а найдет в третьей

Х=4- если не найдет ни в первой, ни во второй, ни в третьей.

 Найдем их вероятности.

Пусть событие А состоит в том что книга найдена. Р(А)=0,3.

$IMAGE20$
Не найдена – вероятность противоположного события равна

$IMAGE21$1)Запишем ряд распределения Х

Х	1	2	3	4
Р	0,3	0,21	0,147	0,343

2) См. рисунок 1(21)

$IMAGE22$3) Математическое ожидание дискретной случайной величины

Дисперсия

$IMAGE23$

	$IMAGE24$

Среднеквадратическое отклонение

4) Х – дискретная случайная величина. Найдем функцию распределения F(x)=P{x<X}- кусочно-постоянная функция

$IMAGE25$           

 

   25. Три плавбазы вышли на путину. Вероятность того, что первая из них перевыполнит план равна 0,9; вторая – 0,8 и третья – 0,85. СВ Х – число баз, перевыполнивших план.

Случай ная величина Х может принимать такие значения

Х=0 если ни первая ни вторая ни третья базы не перевыполнили план

Х=1 – это может произойти если 1-я база перевыполнила план, а вторая и третья нет, или вторая перевыполнила а первая и третья нет, или третья первыполнила а первая и вторая нет.

Х=2 –если первая и вторая базы перевыполнили план а третья нет, или вторая и третья перевыполнили а первая нет, или первая и третья перевыполнили а вторая нет.

Х=3- если все три базы перевыполнили план

.

 Найдем их вероятности.

$IMAGE26$По формулам суммы и произведения вероятностей, по формуле вероятности

1)Запишем ряд распределения Х

Х	0	1	2	3
Р	0,003	0,056	0,329	0,612

2) См. рисунок 1(25)

$IMAGE27$ $IMAGE28$3) Математическое ожидание дискретной случайной величины

Дисперсия

	$IMAGE29$

Среднеквадратическое отклонение

4) Х – дискретная случайная величина. Найдем функцию распределения F(x)=P{x<X}- кусочно-постоянная функция

$IMAGE30$           

   31-40. Случайная величина Х задана плотностью распределения ¦(х). Определить: а) параметр А; б) функцию распределения вероятностей F(х); в) математическое ожидание МХ; г) дисперсию ДХ; д) вероятность того, что в n независимых испытаниях случайная величина Х попадет ровно m раз в интервал (a, b). Построить графики функций ¦(х), F(х).

31.                                                                                          

¦(х)= $IMAGE31$   $IMAGE32$                            

                                               

 n = 4, m = 3, a = 0, b= 2                                   

Решение

а)Для плотности распределения непрерывной случайной величины должно выполняться условие

		$IMAGE33$
	$IMAGE34$

     

В нашем случае

б) Функция распределения вероятностей

$IMAGE35$

в) Математическое ожидание

$IMAGE36$

г) Дисперсия

$IMAGE37$

д) При каждом независимом испытании вероятность попадания в интервал равна

	$IMAGE38$

По формуле Бернулли вероятность того что случайная величина в n=4 испытаниях m=3 раза попадет в интервал равна

е)Графики смотри рис.2(31)

35.                                                                  

¦(х)= $IMAGE39$  $IMAGE40$                                                            

n=4, m=2, a=-1/3 А, b=5/4 А.                

а)Для плотности распределения непрерывной случайной величины должно выполняться условие

$IMAGE41$

     

В нашем случае

$IMAGE42$

б) Функция распределения вероятностей

$IMAGE43$

в) Математическое ожидание

$IMAGE44$

г) Дисперсия

$IMAGE45$

д) При каждом независимом испытании вероятность попадания в интервал равна

$IMAGE46$

	$IMAGE47$

По формуле Бернулли вероятность того что случайная величина в n=4 испытаниях m=2 раза попадет в интервал равна

е)Графики смотри рис.2(35)

41-50. Дана выборка значений признака Х. Требуется:

1) построить статическую совокупность;

2) построить гистограмму частот;

3) найти точечные оценки генеральной средней, генеральной

дисперсии и генерального среднего квадратического отклонения;

4) найти доверительный интервал для неизвестного математического

 ожидания;

5) проверить нулевую гипотезу о нормальном законе распределения

 количественного признака Х генеральной совокупности.

41.

38, 51, 57, 64, 76, 92, 89, 19, 35, 60, 22, 41, 44, 48, 60, 44, 67, 80, 86,

57, 25, 83, 73, 70, 70, 70, 64, 60, 60, 64, 57, 54, 57, 54, 32, 86, 86, 80,

76, 60, 76, 70, 70, 67, 67, 64, 64, 60, 28, 67, 41, 41, 51, 48, 44, 80, 80,

76, 73, 51, 67, 60, 32, 41, 41, 54, 57, 60, 67, 73, 73, 76, 57, 67, 73, 73,

 64, 60, 54, 57.

1) Объем выборки n=80

Наименьшее значение признака Х