© Н.М. Козий, 2008, [UA]
Свидетельство Украины № 25256
о регистрации авторского права
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СИЛЬНОЙ ГИПОТЕЗЫ ГОЛЬДБАХА-ЭЙЛЕРА
Сильная гипотеза Гольдбаха-Эйлера формулируется следующим образом: любое четное число, большее двух, равно сумме двух простых чисел:
N = A + B,
где: А и В – простые числа.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Напишем арифметическую прогрессию: Р = [ 1, 2, 3, 4, 5… N]
Очевидно, что:
- количество членов прогрессии равно N;
- количество четных и нечетных членов прогрессии одинаково и равно:
n = 0, 5 N.
Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – четное число:
V = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1, 0,5N +1… N-3, N-1]
U = [ N-1, N-3 … 0,5N +1, 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U1 = [ N-1, N-3 … 0,5N +1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V1 =[ 0,5N +1… N-3, N-1],
а часть прогрессии U:
U2 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V2 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1].
Исходя из этого для числа N при n – четном запишем:
V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N-1]
U0 = [ 0,5N-1 … 7, 5, 3, 1].
При этом:
V0i + U0i = N,
где V0i и U0i - i – тые члены прогрессий V0 и U0.
При n – четном количество членов прогрессии V0 равно количеству членов прогрессии U0 и равно:
K = 0,5∙n = 0,25·N. /1/
Напишем возрастающую V и убывающую U арифметические прогрессии из нечетных чисел прогрессии Р для случая, когда n – нечетное число:
V = [1, 3, 5, 7 … 0,5N… N-3, N-1]
U = [N-1, N-3 … 0,5N … 7, 5, 3, 1]
Очевидно, что часть прогрессии U:
U3 = [N-1, N-3 … 0,5N]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V :
V3 = [0,5 … N-3, N-1],
а часть прогрессии U:
U4 = [0,5N … 7, 5, 3, 1]
представляет собой зеркальное расположение членов прогрессии V:
V4 = [1, 3, 5, 7 … 0,5N].
Исходя из этого для числа N при n – нечетном запишем:
V0 = [ 1, 3, 5, 7 … 0,5N]
U0 = [ 0,5N … 7, 5, 3, 1].
При этом:
V0i + U0i = N,
где V0i и U0i - i – тые члены прогрессий V0 и U0.
При n –нечетном количество членов прогрессии V0 равно количеству членов прогрессии U0 и равно:
К=0,5·(n+1) = 0,25·(N + 2). /2/
Количество пар чисел V0i + U0i прогрессий V0 и U0 равно: П =К.
В общем случае обозначим:
Zpv – количество простых чисел в прогрессии V0;
Zsv -- количество составных чисел в прогрессии V0;
Zpu -- количество простых чисел в прогрессии U0;
Zsu -- количество составных чисел в прогрессии U0;
Пs/v – количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии U0 и простых чисел прогрессии V0;
Пs/u– количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из составных чисел прогрессии V0 и простых чисел прогрессии U0;
Пр -- количество пар чисел V0i + U0i, состоящих из простых чисел прогрессий V0 и U0.
Очевидно, что:
П = К = Zpv + Zsv = Zpu + Zsu ; /3/
Zsv = K - Zpv; Zsu= K - Zpu.
Из анализа значений числа N с использованием таблицы простых чисел следует:
-для чисел N ≤ 116: Zpv> Zsu; Zpu > Zsv;
- для чисел N = 118…136: Zpv=Zsu; Zpu = Zsv;
- для чисел N≥138: Zpv<Zsu; Zpu < Zsv.
Составим прогрессии V0 и U0 для произвольно взятых чисел N, разделим их на подпрогрессии, установим значения величин Zpv, Zsv, Zpu, Zsu, Пs/v, Пs/u, Пр и соотношения между ними как для прогрессий V0 и U0 в целом, так и для входящих в них подпрогрессий.
ПРИМЕР 1. N=120; n=0,5N =0,5·120 = 60 –четное число.
В соответствии с зависимостями /1/ и /3/ количество пар чисел V0i + U0i равно:
П = К = 0,25·N=0,25∙120 =30.
V0 ={ V01 =[ 1 3 5 7 9 11 13 ] V02 =[ 15 17 19 21 23] V03=[25 27]
U0 ={U01 = [119 117 115 113 111 109 107 ] U02 =[105 103 101 99 97 ] U03=[95 93]
Пр * * * * * *
V04 = [ 29 31 ] V05 = [ 33 35 ] V06= [ 37 39 41 43 45 47 ] V07= [ 49 51 53]
U04= [ 91 89 ] U05= [ 87 85 ] U06= [ 83 81 79 77 75 73 ] U07= [ 71 69 67]
Пр * * * * *
V08 = [ 55 57 59 ] }.
U08 = [ 65 63 61 ] }.
Пр *
Простые числа набраны жирным шрифтом курсивом.
*- пары простых чисел.
Для прогрессий V0 и U0 в целом имеем:
Zpv =17, Zsv =13, Zpv = Zsu, Пs/v =5, Пs/v ≠ Пs/u ,
Zpu =13, Zsu =17, Zpu = Zsv, Пs/u =1, Пр = 12.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 17 – 5 = 12;
Ru = Zpu - Пs/u = 13 – 1 = 12.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует:
Rv =Ru = Пр = 12.
Для подпрогрессий V01 и U01 имеем:
Zpv =6, Zsv =1, Zpv > Zsu, Пs/v =3, Пs/v ≠ Пs/u,
Zpu =3, Zsu =4, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 6 – 3 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.
Для подпрогрессий V02 и U02 имеем:
Zpv =3, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =0, Пs/v = Пs/u = 0,
Zpu =3, Zsu =2, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 3 – 0 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 3.
Для подпрогрессий V04 и U04 имеем:
Zpv =2, Zsv =0, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠ Пs/u,
Zpu =1, Zsu =1, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 1.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 2 – 1 = 1; Ru = Zpu - Пs/u = 1 – 0 = 1.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр следует: Rv = Ru = Пр = 1.
Для подпрогрессий V06 и U06 имеем:
Zpv =4, Zsv =2, Zpv > Zsu, Пs/v =1, Пs/v ≠ Пs/u,
Zpu =3, Zsu =3, Zpu > Zsv, Пs/u =0, Пр = 3.
Определим разности:
Rv = Zpv - Пs/v = 4 – 1 = 3; Ru = Zpu - Пs/u = 3 – 0 = 3.
Из сравнительного анализа величин Rv , Ru и Пр