Способ доказательства бесконечности количества некоторых видов простых чисел
Греческий ученый Евклид еще в ІІІ веке до нашей еры доказал, что количество простых чисел - бесконечено.
Теорема Дирихле утверждает, что в некоторой арифметической прогрессии, которая состоит с натуральных чисел, количество простых чисел 
или бесконечность. Это значит, если 
, тогда значения многочлена первой степени 
будут простыми числами при замене бесконечного количества целых чисел.
Уже о многочленах второй и о большей степени этого нельзя было сказать. Неразрешимой была проблема простых чисел-близнецов.
Ниже мы рассмотрим способ, с помощью которого можно решить часть этих проблем.
Рассмотрим многочлен 
который при значениях 
от $IMAGE6$ до $IMAGE7$, дает бесконечный ряд натуральных чисел $IMAGE8$ (1)
А также рассмотрим ряд простых чисел $IMAGE9$ (2) некоторого типа, о котором известно, что он бесконечен.
Пусть простые числа (2) делят числа (1) и некоторые числа (2) совпадают с некоторыми числами (1). Применяя способ решета Эратосфена, мы увидим, что каждое простое число $IMAGE10$ c (2) выбивает с ряда чисел (1) $IMAGE11$часть, а на все остальные простые числа останется $IMAGE12$ часть чисел (1).
Если p1 выбивает t/ р1 , то p2 выбьет еще $IMAGE13$часть чисел (1) с тех, что осталась, а вместе они выбьют $IMAGE14$часть чисел(1).
Для всех остальных простых чисел останется
$IMAGE15$
часть чисел (1)
Третье простое число $IMAGE16$ выбьет еще $IMAGE17$часть, а вместе они выбьют $IMAGE18$часть чисел (1). На все оставшиеся простые числа с (2) останется
$IMAGE19$
часть чисел (1)
Продолжая ми получим, что простые числа $IMAGE9$ выбивают
$IMAGE21$ (3)
часть чисел (1) , а на оставшиеся простые числа останется
$IMAGE22$ (4)
часть чисел (1)
Используем тот факт, что простые числа от $IMAGE23$ до $IMAGE24$ выбивают все сложные числа в интервале от $IMAGE24$ до $IMAGE26$.
Пусть $IMAGE24$наибольшее простое число с (2) совпадающее с $IMAGE24$последовательности (1). Для того чтобы выяснить, есть ли еще простые числа в последовательности (1) больше за $IMAGE29$ достаточно формулу (4) умножить на число А-количество чисел (1) на промежутке от $IMAGE24$ до $IMAGE26$ . И если
$IMAGE32$ (5)
значит, там еще есть простые числа больше $IMAGE33$ и меньше $IMAGE34$.
Рассмотрим проблему простых чисел-близнецов
Пусть многочлен первой степени $IMAGE35$,где ,дает простые числа –близнецы. Требуется доказать, что их количество бесконечно. Запишем все пары чисел
$IMAGE37$ $IMAGE38$ $IMAGE39$ $IMAGE40$ (6)
$IMAGE41$ $IMAGE42$ $IMAGE43$ $IMAGE44$
Легко показать, что каждое простое число $IMAGE10$выбивает по две пары таких чисел, то есть $IMAGE11$часть.
Пусть
$IMAGE47$ (7)
$IMAGE48$
последняя известная нам пара простых чисел-близнецов этого вида. Используя формулы (3) мы увидим, что все простые числа от $IMAGE23$до $IMAGE50$ выбивают
$IMAGE51$ (8)
часть чисел (6). А , используя формулу (4) мы получим , что на все остальные простые числа останется
$IMAGE52$ (9)
часть чисел (6).
Для того, чтобы выяснить есть ли еще другие пары простых чисел-близнецов в последовательности (6) больше за (7), достаточно исследовать формулу (9) на промежутке до $IMAGE53$.
Если
$IMAGE54$ (10)
где А-количество пар чисел (6) на промежутке от $IMAGE50$ до $IMAGE53$,тогда на этом промежутке есть еще хотя бы одна пара простых чисел-близнецов данного вида
Так как
$IMAGE57$
тогда последнее число вида (7) меньше $IMAGE53$, которое будет делиться простыми числами меньшими за $IMAGE50$ , будет число
$IMAGE60$.
С учетом этого формула (10) примет вид
$IMAGE61$ ,
где видно, что левая часть больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов бесконечно.
Для примера рассмотрим простые числа-близнецы вида $IMAGE62$ .
Пусть $IMAGE62$наибольшая пара таких чисел. Так как числа такого вида нечетные, значит, $IMAGE64$ не принимает участия. Выражение (10) для данного случая примет вид $IMAGE65$, где очевидно, что оно больше единицы, а это значит, что количество пар простых чисел-близнецов вида $IMAGE62$бесконечно. Таким же способом можно рассматривать и более сложные многочлены первой степени. Очень легко доказывается и теорема Чебышева, Гольдбаха-Эйлера.
Рассмотрим многочлен второй степени
$IMAGE67$ (11)
Делителями его будут простые числа вида
$IMAGE68$ (12)
Подставляя в (11) значения от $IMAGE6$ до $IMAGE71$ получим ряд чисел $IMAGE72$ (13). Пускай $IMAGE73$наибольшее простое число вида $IMAGE74$. Требуется доказать что есть еще простые числа вида $IMAGE74$ больше за $IMAGE73$.
Каждое простое число (12) выбивает с последовательности (13) $IMAGE77$ часть чисел. С учетом формулы (3) мы получим, что все простые числа (12) от $IMAGE78$ до $IMAGE24$ выбивают
$IMAGE80$ (14)
часть чисел с последовательности (13) На остальные простые числа вида $IMAGE81$останется с учетом формулы (4)
$IMAGE82$ (15)
часть чисел последовательности (13).
Так как $IMAGE83$ ,тогда последнее число вида $IMAGE74$меньше $IMAGE26$, которое будет делиться простыми числами вида $IMAGE86$меньшим за $IMAGE26$, будет число $IMAGE88$ . .
Для того ,чтобы показать, что есть еще простые числа
$IMAGE89$ (16)
достаточно доказать, что
$IMAGE90$ (17)
Для чего неравенство (17) запишем по-другому
$IMAGE91$ (18)
Рассматривая (18), видим, что оно больше за единицу. Это значит что утверждение (16) верно, а значит, и количество простых чисел вида $IMAGE74$ бесконечно.