Содержание
Введение
1.Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «полка»
2.Решить систему уравнений:
3.Решить уравнение:
4.Доказать тождество:
Ø
5.Перечислить элементы множеств AxB и BxA, если 
, а 
6.Упростить выражение
$IMAGE6$
Введение
Основные способы представления информации называются дискретными: это слова и конструкции языков и грамматик – природных и формализованных; табличные массивы реальных данных в технических системах и научно-природных наблюдений; данные хозяйственной, социальной, демографической, исторической статистики и т.п.
Для количественного анализа и вычисления превращений непрерывных процессов приходится их "дискретизировать". Понятно, что математические методы обработки, анализа и превращений дискретной информации необходимы во всех отраслях научной, хозяйственной и социальной сферах. Обычно эти методы изучаются на курсах дискретной математики; иногда применяется определение "конечная математика", или даже "конкретная математика".
Часто для анализа реальных систем с непрерывными конструктивными элементами строятся модели конечной или дискретной математики. Например, классическая транспортная или информационная сеть трактуется как граф с заданными пропускными способностями или массами веток, а геометрическая форма ветки между двумя пунктами-узлами сети не играет роли. Более того, "непрерывное" строение реальной ветки также не работает в сетевой модели: важно, что между двумя узлами а, b сети или нет ветки, или есть ветка с заданными ограничениями c(a, b) объема переноса веществ или информации. В модели хватит задать числа c(a, b) для каждой пары узлов a, b. Если ветки нет, то c(a, b)=0. Такая числовая модель отображения сети идеальна для записи, сохранения и превращений в компьютере.
1.Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «полка»
Решение
Эта задача представляет собой вид классической задачи комбинаторики. Ее разрешение сводится к "правилу произведения". Исходя из которого, если М1, М2, М3, …, Мk – конечные множества и М = М1 х М2 х М3 х … х Мk – их декартовое произведение, то
$IMAGE7$(1)
Пусть предмет а1 можно выбрать m1 способами, предмет а2 – m2 способами, …, предмет аk – mk способами и пусть выбор предмета а1 не влияет на количество способов выбора предметов а2, …, аk; и т.д. Тогда выбор упорядоченного множества предметов (а1, а2, …, аk) в указанном порядке можно выполнить способами.
$IMAGE8$ (2)
Отсюда – если нам необходимо подсчитать сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова "полка", то сначала выберем гласную – это можно сделать 2 способами (так как их две), после этого каждой гласной добавим согласную (аналогично 3 способа). По правилу произведения выбор упорядоченного множества гласной и согласной букв составит:
$IMAGE9$
Ответ. n = 6.
2.Решить систему уравнений:
Решение
1.Найдем n из формулы дискретного соединения:
$IMAGE11$ (3)
Из нижеследующего доказательства следует, что:
$IMAGE12$ (4)
Таким образом:
$IMAGE11$
$IMAGE14$
$IMAGE15$
Следовательно $IMAGE16$.
Подставив значение $IMAGE16$ в формулу дискретной перестановки (5),
$IMAGE18$ (5)
получим:
$IMAGE19$
Сократим m! и (m-2)!:
$IMAGE20$
$IMAGE21$
Решив квадратное уравнение, найдем один подходящий корень $IMAGE22$.
Проверим правильность решения:
$IMAGE23$
$IMAGE24$
Ответ: $IMAGE16$, $IMAGE26$.
3.Решить уравнение:
Решение
Используя формулы дискретной перестановки (5) и соединения (3), получим:
$IMAGE29$
Упростим выражение:
$IMAGE30$
Используя сокращение, получим:
$IMAGE31$
$IMAGE32$
Расписав факториал, получим:
$IMAGE33$
$IMAGE34$
$IMAGE35$
$IMAGE36$
Решим квадратное уравнение:
$IMAGE37$
Ответ: $IMAGE37$
4.Доказать тождество:
$IMAGE39$ Ø
Решение
$IMAGE40$
Раскроем пары скобок (первое и второе пересечения, третье и четвертое):
$IMAGE41$
Сократим выражение:
$IMAGE42$
$IMAGE43$
Раскроем скобки:
$IMAGE44$
Сократим выражение:
$IMAGE45$
$IMAGE46$
$IMAGE47$
5.Перечислить элементы множеств AxB и BxA, если , а
Решение
Отношения реализуют в математических терминах на абстрактных множествах реальные связи между реальными объектами. Отношения применяют при построении компьютерных баз данных, которые организованы в виде таблиц данных. Связи между группами данных в таблицах описывают языком отношений. Именно данные обрабатываются и превращаются при помощи операций, математически точно определенных для отношений. Такие базы данных называют реляционными и широко используют для сохранения и обработки различной информации: производственной, коммерческой, статической и т.п. Отношения также часто используют в программировании. Такие составляющие структуры данных, как списки, деревья и т.п. обычно используют для описания какого либо множества данных вместе с отношением между элементами этого множества.
Декартовым произведением множеств Х1 х Х2 х … х ХN, называется множество всех возможных упорядоченных наборов (х1, х2, …, хn) с n элементов (которые называют кортежами длины n), в которых первый элемент принадлежит множеству Х1, второй – множеству Х2, n-й – множеству Хn. Декартовое произведение Х х Х х … х Х, в котором одно и то же множество Х умножается n раз само на себя, называют декартовой степенью множества и обозначают Хn. При этом Х1 = Х. Множество Х2 называют декартовым квадратом множества Х, множество Х3 называют декартовым кубом множества Х.
Таким образом, если , а , то:
а) $IMAGE52$
б) $IMAGE53$.
Ответ:
$IMAGE54$, $IMAGE53$.
6.Упростить выражение
$IMAGE6$
Решение
$IMAGE6$
а) упростим левую часть выражения:
$IMAGE58$
$IMAGE59$
б) упростим правую часть выражения:
$IMAGE60$
$IMAGE61$
в) объединив полученный результат, получим:
$IMAGE62$
$IMAGE63$
Ответ: $IMAGE64$.