| Введение Общество 21в. – общество информационное. Центр тяжести в решении задач переместился от задач вычислительной математики к задачам на дискретных структурах. Математика нужна не как метод расчета, а как метод мышлению средство формирования и организации… Такое владение математикой богатой культуры, понимание важности точных формулировок. В дисциплине мало методов, но много определений и терминов. В основе дискретной математике 4 раздела: Язык дискретной математики; Логические функции и автоматы; Теория алгоритмов; Графы и дискретные экстремальные задачи. Теория алгоритмов и формальных систем является центральной в дисциплине. В настоящие время от нее возникли ответвления, например, разработка алгоритмических языков программирования. Одной из важнейших проблем в дискретной математики является проблема сложности вычислений. Теория сложности вычислений помогает оценить расход времени и памяти при решении задач на ЭВМ. Теория сложности позволяет выделить объективно сложные задачи (задачи перебора) и неразрешимые задачи. Мы будем заниматься решением задач реальной размерности с учетом ограниченности временных и емкостных ресурсов ЭВМ. Множества и операции над ними Одно из основных понятий математики – множество. Определение: Множеством называется совокупность, набор предметов, объектов или элементов. Множество обозначают: M,N ….. m1, m2, mn – элементы множества. Символика A Î M – принадлежность элемента к множеству; А Ï М – непринадлежность элемента к множеству. Примеры числовых множеств: 1,2,3,… множество натуральных чисел N; …,-2,-1,0,1,2,… - множество целых чисел Z.  множество рациональных чисел а. I – множество иррациональных чисел. R – множество действительных чисел. K – множество комплексных чисел. Множество А называется подмножеством В, если всякий элемент А является элементом В. А Í В – А подмножество В (нестрогое включение) Множества А и В равны, если их элементы совпадают. A = B Если А Í В и А ¹ В то А Ì В (строгое включение). Множества бывают конечные и бесконечные. |М| - мощность множества (число его элементов). Конечное множество имеет конечное количество элементов. Пустое множество не содержит элементов: M = Æ . Пример: пустое множество: 1) множество действительных корней уравнения x2+1=0 пустое: M = Æ . 2) множество D , сумма углов которого ¹ 1800 пустое: M = Æ . Если дано множество Е и множество и мы рассматриваем все его подмножества, то множество Е называется униварсельным. Пример: Если за Е взять множество книг то его подмножества: художественные книги, книги по математике, физики, физики … Если универсальное множество состоит из n элементов, то число подмножеств = 2n. Если  , состоящее из элементов E, не принадлежащих А, называется дополненным. Множество можно задать: Списком элементов {a,b,c,d,e}; Интервалом 1<x<5; Порождающей процедурой: xk=p k sinx=0; Операции над множествами Объединение множеств А и В (союз или). Множество, состоящие из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В называется объединенным.А È В Отношение множеств наглядно иллюстрируется с помощью диаграмм Венна. Диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы множества. Объединение двух множеств  Объединение трех множеств:  | | AUB
 | Объединение системы множеств можно записать  - объединение системы n множеств. Пример: объединение множеств, когда они заданы списком. A = {a,b,d} B = {b,d,e,h} AUB = {a,b,c,d,e,h} 2) Пересечением множеств А и В называется множество, состоящие из элементов принадлежащих одновременно множествам А и В. A Ç B  Пересечение прямой и плоскости если прямые || пл., то множество пересечений – единственная точка; если прямые II пл., то M ¹ Æ ; если прямые совпадают, то множество пересечений = множество прямой. Пересечение системы множеств:  Разностью 2-х множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, не входящих в В. С = А В  A = {a,b,d}; B = {b,c,d,h} C = A B={a}. В отличии от предыдущих операций разность: 1) строго двухместна; 2) не коммутативна, т.е. AB ¹ BA. 4) дополнение  E – универсальное множество.  -- дополнение Операции объединения, пересечения и дополнения называются Булевыми. Основные законы операций над множествами. Некоторые свойства È , Ç похожи на алгебраические операции, однако многие свойства операций над множествами все же отличаются. Основные свойства AUB=BUA; AÇ B=BÇ A – переместительный закон объединения и пересечения. (АUB)UC = AU(BUC); (AÇ B)Ç C=AÇ (BÇ C) – сочетательный закон. АUÆ =A, AÇ Æ =Æ , A Æ =A, A A=Æ 1,2,3 – есть аналог в алгебре. 3.а) Æ A = Æ - нет аналога.  Æ ; E A = ; A E=Æ ; AUA=A; AÇ A=A; AUE=E; AÇ E=A; 5.а) свойства 1-4 очевидны и не нуждаются в доказательствах. AÇ (BUC)=(AÇ B)(AÇ C) – есть аналогичный распределительный закон Ç относительно U. Прямые произведения и функции Прямым декартовым “х” множеством А и В называется множество всех пар (a;b), таких, что аÎ А, bÎ B. С=AхВ, если А=В то С=А2. Прямыми “х” n множеств A1x,…,xAn называется множество векторов (a1,…an) таких, что a1Î A1,…, AnÎ An. Через теорию множеств введем понятие функции. Подмножество FÎ Mx x My называется функцией, если для каждого элемента хÎ Mx найдется yÎ Му не более одного. (x;y)Î F, y=F(x). Соответствие между аргументом и функцией можно изобразить с помощью диаграммы Венна:  Определение: Между множествами MX и MY установлено взаимноодназночное соответствие, если каждому хÎ MX соответствует 1 элемент yÎ MY и обратное справедливо. Пример: 1) (х,у) в круге x=2 à y=2 y=2 à x=2..4 не взаимнооднозначное соответствие.  2) x = sinx Rà R  Пусть даны две функции f: Aà B и g: Bà C, то функция y:Aà C называется композицией функций f и g. Y=f o g o – композиция. Способы задания функций: таблицы, определены для конечных множеств; формула; графики; Способы 1-3 частные случаи выч. процедуры. Пример процедуры, не относящейся к 3 способам задания функций n! Взаимнооднозначное соответствие и мощности множеств. Определение: Множества равномощны |A|=|B| если между ними взаимнооднозначное соответствие. Теорема: Если для конечного множества А мощность равна |A| то количество всех подмножеств 2|A|=2n. Множества равномощные N называются счетными, т.е. в них можно выполнить нумерацию элементов. N – множество натуральных чисел. Множество N2 – счетно. Доказательство Разобьем N2 на классы  Ко 2-му классу N2 {(1;2), (2;1)} К i-му классу Ni {(a;b)| (a+b=i+1} Каждый класс будет содержать i пар. Упорядоченный классы по возрастанию индекса i, а пары внутри класса упорядоченные по направлению первого элемента а. Занумеруем последовательность классов, что и доказывает счетность множества N2. Аналогично доказывается счетность множеств N3,…,Nk. Теорема Кантора: Множество всех действительных чисел на отрезке [0;1] не является счетным. Доказательство Допустим это множество счетно изобразим его числа десятичными дробями.  Возьмем произвольное число 0,b1,b2,b3 b1 ¹ a11, b2 ¹ a22, … Эта дробь не может выйти в последовательность т.к. отличается от всех чисел, значит нельзя пронумеровать числа на отрезке [0;1]. Множество нечетно и называется континуальным, а его мощность континуум. Метод, используемый при доказательстве, называется диагональным методом Кантора. Отношение Пусть дано RÍ Mn – n местное отношение на множество М. Будем изучать двухместные или бинарные отношения. Если а и b находятся в отношении R, то записывается а R b. Проведем отношение на множество N: А) отношение £ выполняется для пар (7,9) (7,7_ Б) (9,7) не выполняется. Пример отношения на множество R А) отношение находится на одинаковом расстоянии от начала координат выполняется для пар (3; 4) и (2; Ö 21) Б) (3; 4) и (1; 6) не выполняется. Для задания бинарных отношений можно использовать любые способы задания множеств. Для конечных множеств используют матричный способ задания множеств. Матрица бинарного отношения на множество M={1;2;3;4}, тогда матрица отношения С равна  Отношение Е заданные единичной матрицей называется отношением равенства. Отношением назовется обратным к отношением R, если ajRai тогда и только тогда, когда ajRai обозначают R-1. Свойства отношений 1.Если aRa ==> очн. рефлексивное и матрица содержит на главной диагонали единицу если ни для какого а не … ==> отношение антирефлексивное главная диагональ содержит нули Пр. отношнний £ рефлексивное < антирефлексивное 2. Если из aRb следует bRa, ==> отношение R симметричное. В матрице отношения элементы сумм Cij=Cji. Если из aRb и bRa следует a=b ==> отношение R – антисимметричное. Пр. Если а £ b и b £ a ==> a=b 3. Если дано " a,b,c из aRb и aRc следует aRC ==> отношение называемое транзитивным. 4.Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Пр. отношение равенства E 5. Отношение называется отношением нестрогого порядка, если оно рефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Отношение называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно. Пр. а) отношение £ u ³ для чисел отношение нестрогого б) отношение < u > для чисел отношение строгого Элементы общей алгебры Операции на множествах Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций W = {j 1,…, j m}, т.е. система А = {М1;j 1,…, j m} называется алгеброй. W - сигнатура. Если M1Ì M и если значения j ( M1), т.е. замкнуто ==> A1={М1;j 1,…, j m} подалгебра A. Пр. 1. Алгебра (R;+;*) – называется полем действительных чисел обе операции бинарные и поэтому тип этой алгебры (2;2) B=(Б;È ;Ç ) – булева алгебра. тип операций (2;2;1)Р. Свойства бинарных алгебраических операций запись aj b. 1. (aj b)j c=aj (bj c) – ассоциативная операция Пр. +,x – сложение и умножения чисел ассоциативно 2. aj b = bj a – коммутативная операция Пр. +,x – коммутат. –; : – некоммут. умножение мат A× B ¹ B× A – некоммутативно. 3. aj (bj c) = (aj b) j (aj c) –дистрибутивность слева (aj b)j c) = (aj с) j (bj c) –дистрибутивность справа. Пр. (ab)e=aebe – возведение в степень дистрибутивного отношения произведения справа |