База рефератов

Государственный университет управления

Институт заочного обучения

Специальность – менеджмент

Кафедра прикладной математики

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ

по дисциплине: «Прикладная математика»

Выполнил студент 1-го курса

Группа № УП4-1-98/2

Студенческий билет №

Москва, 1999 г.

Содержание

1. Линейная производственная задача_____________________________________________ 3

2. Двойственная задача_________________________________________________________ 7

3. Задача о «Расшивке узких мест производства»____________________________________ 9

4. Транспортная задача________________________________________________________ 12

5. Распределение капитальных вложений_________________________________________ 17

6. Динамическая задача управления запасами_____________________________________ 21

7. Анализ доходности и риска финансовых операций________________________________ 26

8. Оптимальный портфель ценных бумаг__________________________________________ 28

Линейная производственная задача – это задача о рациональном использовании имеющихся ресурсов, для решения которой применяют методы линейного программирования. В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом:

Предположим, предприятие или цех может выпускать  видов продукции, используя  видов ресурсов. При этом известно количество каждого вида ресурса, расход каждого вида ресурса на выпуск каждого вида продукции, прибыль, получаемая с единицы выпущенной продукции. Требуется составить такой план производства продукции, при котором прибыль, получаемая предприятием, была бы наибольшей.

Примем следующие обозначения:

Таким образом, математическая модель задачи состоит в том, чтобы найти производственную программу $IMAGE11$ максимизирующую прибыль:

$IMAGE12$

При этом, какова бы ни была производственная программа $IMAGE13$, ее компоненты должны удовлетворять условию, что суммарное использование данного вида ресурса, при производстве всех видов продукции не должно превышать имеющееся количество данного вида ресурса, т.е.

$IMAGE14$, где $IMAGE15$

А так как компоненты программы – количество изделий, то они не могут быть выражены отрицательными числами, следовательно добавляется еще одно условие:

$IMAGE16$, где $IMAGE17$

Предположим, что предприятие может выпускать четыре вида продукции ( $IMAGE18$), используя для этого три вида ресурсов ( $IMAGE19$). Известна технологическая матрица $IMAGE20$ затрат любого ресурса на единицу каждой продукции, вектор $IMAGE21$ объемов ресурсов и вектор $IMAGE22$ удельной прибыли:

$IMAGE23$  $IMAGE24$   $IMAGE25$

Тогда математическая модель задачи будет иметь вид:

Найти производственную программу $IMAGE26$ максимизирующую прибыль:

при ограничениях по ресурсам:

где по смыслу задачи: $IMAGE29$, $IMAGE30$, $IMAGE31$, $IMAGE32$

Таким образом, получили задачу на нахождение условного экстремума. Для ее решения введем дополнительные неотрицательные неизвестные:

Тогда вместо системы неравенств (1.2), получим систему линейных алгебраических уравнений:

где среди всех решений, удовлетворяющих условию неотрицательности:

$IMAGE29$, $IMAGE30$, $IMAGE31$, $IMAGE32$, $IMAGE41$, $IMAGE42$, $IMAGE43$

надо найти решение, при котором функция (1.1) примет наибольшее значение. Эту задачу будем решать методом последовательного улучшения плана – симплексным методом.

Воспользуемся тем, что правые части всех уравнений системы (1.3) неотрицательны, а сама система имеет предпочитаемый вид – дополнительные переменные являются базисными. Приравняв к нулю свободные переменные x₁, x₂, x₃, x₄, получаем базисное неотрицательное решение:

$IMAGE44$, $IMAGE45$, $IMAGE46$, $IMAGE47$, $IMAGE48$, $IMAGE49$, $IMAGE50$

первые четыре компоненты которого представляют производственную программу $IMAGE51$, по которой пока ничего не производится.

Из выражения (1.1) видно, что наиболее выгодно начинать производить продукцию третьего вида, т.к. прибыль на единицу выпущенной продукции здесь наибольшая, поэтому в системе (1.3) принимаем переменную x₃ за разрешающую и преобразуем эту систему к другому предпочитаемому виду. Для чего составляем отношения правых частей уравнений к соответствующим положительным коэффициентам при выбранной неизвестной и находим наибольшее значение x₃, которое она может принять при нулевых значениях других свободных неизвестных, сохранив правые части уравнений неотрицательными, т.е.

$IMAGE52$

Оно соответствует первому уравнению в системе (1.3), и показывает какое количество изделий третьего вида предприятие может изготовить с учетом объемов сырья первого вида. Следовательно, в базис вводим неизвестную x₃, а исключаем от туда неизвестную x₅. Тогда принимаем первое уравнение в системе (1.3) за разрешающее, а разрешающим элементом будет a₁₃=6.

Применив формулы исключения, переходим к новому предпочитаемому виду системы с соответствующим базисным допустимым решением.

Полный процесс решения приведен в таблице 1, где в последней строке третьей таблицы нет ни одного отрицательного относительного оценочного коэффициента

$IMAGE53$,   где $IMAGE54$,   где $IMAGE55$,

т.е. выполняется критерий оптимальности для максимизируемой функции (1.1).