1. Определения
Дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом вида
(1)
где 
, 
, 
, называются дифференциальными уравнениями с запаздыванием, зависящим от состояния, а именно с сосредоточенным запаздыванием.
Если заданы начальные данные в виде
(2)
То имеет смысл определить понятие решения, начинающегося в точке σ с функции φ, или, короче, начинающегося в φ.
В дальнейшем будем рассматривать только решения, удовлетворяющие условию Липшица, поэтому следует дать следующее определение:
Def 1.Функция $IMAGE6$ называется решением системы (1), (2) на отрезке $IMAGE7$ , если она удовлетворяет следующим условиям:
$IMAGE8$
$IMAGE9$ на отрезке $IMAGE10$.
Естественно возникает вопрос о существовании и единственности такого решения.
Для начала сделаем некоторые обозначения.
a) $IMAGE6$ $IMAGE12$ есть функция, определенная на отрезке $IMAGE13$ и удовлетворяющая условию Липшица с константой L, то есть
$IMAGE14$;
b) $IMAGE15$
c) $IMAGE16$
Def 2. $IMAGE17$ удовлетворяет условиям a),b),c)}
2. Полезная лемма
Lemma 1: $IMAGE18$-выпуклое, замкнутое, ограниченное множество в пространстве непрерывных на отрезке $IMAGE13$ функций.
Proof:
1)Выпуклость:
a)Выберем произвольные функции $IMAGE20$, тогда
$IMAGE21$
$IMAGE22$
b) $IMAGE23$ $IMAGE24$;
c) $IMAGE25$на отрезке $IMAGE26$ $IMAGE27$на том же отрезке для любых $IMAGE28$.
2)Ограниченность:
Множество $IMAGE18$ определено так, что все элементы этого множества лежат в шаре радиуса $IMAGE30$
3)Замкнутость:
Возьмем последовательность функций такую, что
$IMAGE31$, $IMAGE32$.
a) $IMAGE33$
Возьмем $IMAGE34$ тогда
$IMAGE35$
Так как это верно при любом $IMAGE36$, то получаем, что предельная функция удовлетворяет условию Липшица с константой L.
b) По теореме Кантора $IMAGE37$ равномерно на отрезке.
Предположим, что при этом $IMAGE38$(для простоты доказательства предположим что $IMAGE39$, если $IMAGE40$, рассуждения проводятся аналогично)
Возьмем $IMAGE41$, тогда, так как для любого положительного $IMAGE36$ и любого $IMAGE43$ выполнено $IMAGE44$, то выполнено и для данных $IMAGE36$ и t. Получим:
$IMAGE46$
Так как по предположению $IMAGE39$, то получаем что $IMAGE48$, а это невозможно, так как $IMAGE49$. Противоречие показывает, что предельная функция ограничена по норме той же константой $IMAGE50$.
c) $IMAGE51$
$IMAGE52$
на отрезке $IMAGE53$.
Видим, что выполнение условий a,b,c равнозначно тому что $IMAGE54$, то есть множество $IMAGE18$ замкнуто.
Лемма доказана полностью.
3. Существование и единственность решения
Для доказательства теоремы о существовании и единственности липшицевого решения нам потребуется некоторые понятия и важные теоремы, доказательства которых можно, например, найти в книге Кадеца [3].
Def 2. Оператор Т называется вполне непрерывным (компактным), если Т непрерывен и Т отображает любое ограниченное множество в предкомпактное.
Def 3. Семейство Ф функций φ, определенных на $IMAGE56$ называется равномерно ограниченным, если $IMAGE57$
Def 4.Семейство Ф функций φ, определенных на $IMAGE56$, называется равностепенно непрерывным, если $IMAGE59$
Теорема 1.(Арцела)
Для того чтобы семейство Ф непрерывных, определенных на отрезке $IMAGE56$ функций было предкомпактом в $IMAGE61$, необходимо и достаточно, чтобы это семейство было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным.
Теорема 2.(Шаудера, принцип неподвижной точки)
Если U-замкнутое ограниченное выпуклое подмножество пространства Банаха X оператор $IMAGE62$ вполне непрерывен, то Т имеет в U по крайней мере одну неподвижную точку.
Именно на теореме Шаудера основано доказательство теоремы о существовании и единственности решения.
Теорема 3.(существование и единственность решения системы (1).(2))
Пусть система (1),(2) такая что:
$IMAGE63$
Тогда $IMAGE64$ такая что на отрезке $IMAGE65$ существует решение системы (1),(2), удовлетворяющее условию Липшица, и оно единственно.
Замечание. Для простоты возьмем $IMAGE66$, для других значений теорема доказывается аналогично, или сводится к этому случаю заменой переменных.
Доказательство: Проинтегрировав уравнение (1), увидим, что решение должно удовлетворять условию:
$IMAGE67$
Обозначим
$IMAGE68$
и будем искать решение в виде $IMAGE69$
Где $IMAGE70$
Определим оператор
$IMAGE71$,
Который действует из $IMAGE72$ в себя, действительно, возьмем произвольный элемент $IMAGE73$
a) Проверим, удовлетворяет ли образ условию Липшица: возьмем
$IMAGE74$
$IMAGE75$
При $IMAGE76$ $IMAGE77$
b) $IMAGE78$
При $IMAGE79$ выполнено $IMAGE80$.
c) $IMAGE81$ при $IMAGE82$ по определению оператора.
Выполнение условий a,b,c означает что $IMAGE83$.
Для этого необходимо подобрать параметры $IMAGE84$ так, чтоб одновременно выполнялись условия:
$IMAGE79$ (3)
$IMAGE76$ (4)
Покажем, что оператор Т осуществляет непрерывное отображение:
Возьмем последовательность $IMAGE87$ такую что
$IMAGE88$
$IMAGE89$
Оценка выполнена на всем интервале, величина $IMAGE90$ положительна и конечна, отсюда следует, что при | $IMAGE91$
$IMAGE92$ также стремится к нулю, а значит оператор Т переводит сходящиеся последовательности в сходящиеся, а значит он непрерывен.
Компактность оператора будем доказывать по теореме Арцела, так как образ оператора лежит в пространстве $IMAGE93$ с соответствующей нормой.
1) $IMAGE94$,
правая часть не зависит ни от t, ни от y, значит образ оператора – равномерно ограниченное семейство функций.
2) $IMAGE95$
Выбирая $IMAGE96$ получаем что образ оператора есть равностепенно непрерывное семейство функций.
А значит, образ множества $IMAGE97$ предкомпакт, а оператор Т вполне непрерывен.
Так как множество $IMAGE97$ ограничено, выпукло и замкнуто, а оператор Т компактен и действует из этого множества в себя, то по теореме Шаудера существует по крайней мере одна неподвижная точка $IMAGE99$ из этого множества.
$IMAGE100$, а это значит, что $IMAGE101$ - решение системы (1),(2).
Единственность:
Предположим, что при выполнении условий теоремы x и y – решения системы (1),(2) на интервале $IMAGE102$.
При $IMAGE82$ оба решении совпадают с начальными данными, а значит равны между собой. На интервале $IMAGE104$ оценим модуль разности функций, являющимися решениями.
$IMAGE105$
Эта оценка верна для произвольного t отсюда немедленно следует, что
$IMAGE106$,
Выбирая $IMAGE107$ таким малым, чтоб $IMAGE108$ было меньше 1, получаем что $IMAGE109$, а значит на $IMAGE104$ $IMAGE111$. Последовательно строя интервалы длинной $IMAGE107$ закончим доказательство теоремы.
4.Пример неединственности (Winston)
Для уравнения $IMAGE113$ с начальными данными
$IMAGE114$
для малых положительных t существует два различных решения:
$IMAGE115$
Действительно, проверим, удовлетворяют ли эти функции уравнению:
$IMAGE116$
$IMAGE117$
$IMAGE118$
Значит, система имеет два различных решения. Это происходит потому что при малых t аргумент $IMAGE119$ оказывается в окрестности -1, а при этих значениях начальные данные недостаточно гладки, не выполнено условие Липшица.
Список использованной литературы
[1] HALE J. K. Theory of functional differential equations. –Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1977.
[2] Резуненко А.В. Краткое введение в обыкновенные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Харьков-2004.
[3] Кадец В.М. Курс функционального анализа. Харьков-2006.
[4] I.D.Chueshov. Introduction to the Theory of Infinite-Dimensional Dissipative Systems . «Аста»-2002.
[5] Д. Хенри. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. Москва. «Мир»-1985.
[6] Колмогоров А.Н. Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа 1976