Курсовая работа студента гр. МТ-31 Нургалиев А.
Инновационный евразийский университет
Павлодар 2007 год.
1. Введение.Многие задачи математической физике приводят к дифференциальным уравнениям с частными производными. В настоящей курсовой работе рассмотрены одни из основных уравнений гиперболического типа: 4-го и наиболее часто встречающегося 2-го порядка.
Рассмотрено простейшее уравнение гиперболического типа – волновое уравнение. К исследованию этого уравнения приводят рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т. д. Приведена формула Даламбера для решения краевых задач, а также её физическая интерпретация.
Большое число задач о колебаниях стержней, пластин и т.д. приводит к уравнениям более высокого порядка. В качестве примера на уравнения 4-го порядка рассмотрена задача о собственных колебаниях камертона.
2. Метод распространяющихся волн.
2.1. Вывод уравнения колебаний струны.
В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины l в начальный момент направлена по отрезку оси 0x от 0 до l. Предположим, что концы струны закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.
Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси 0x и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t) которая дает величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.
 
Так как мы рассматриваем малые отклонения точек струны в плоскости (x,u), то будем предполагать, что длина элемента струны M1M2 равняется ее проекции на ось 0x, т.е. M1M2=x2-x1. Также будем предполагать, что натяжение во всех точках струны одинаковое; обозначим его через T.
Рассмотрим элемент струны MM’. 
 
На концах этого элемента, по касательным к струне, действуют силы T. Пусть касательные образуют осью 0x углы  и . Тогда проекция на ось 0u сил, действующих на элемент MM’, будет равна . Так как угол  мал, то можно положить , и мы будем иметь:
 
(здесь мы применили теорему Лагранжа к выражению, стоящему в квадратных скобках).
Чтобы получить уравнение движения, нужно внешние силы, приложенные к элементу, приравнять силе инерции. Пусть масса элемента струны будет . Ускорение элемента равно . Следовательно, по принципу Даламбера будем иметь:
 
Сокращая на  и обозначая , получаем уравнение движения
  (1)
Это и есть волновое уравнение – уравнение колебания струны. Для полного определения движения струны одного уравнения (1) недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять еще граничным условия, указывающим, что делается на концах струны (x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0). Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями:
 
2.2. Формула Даламбера. 
Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений гиперболического типа начнем с задачи с начальными условиями для неограниченной струны:
  (2)
  (3)
Преобразуем это уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик
 
распадается на два уравнения:
 , ,
интегралами которых являются прямые
 , .
Вводя новые переменные
 , ,
уравнение колебания струны преобразуем к виду:
 . (4)
Найдем общий интеграл последнего уравнения. Очевидно, для всякого решения уравнения (4)
 ,
где  - некоторая функция только переменного . Интегрируя это равенство по  при фиксированном , получим
 , (5)
где  и  являются функциями только переменных  и .Обратно, каковы бы ни были дважды дифференцируемые функции  и , функция , определяемая формулой (5), представляет собой решение уравнения (4). Так как всякое решение уравнения (4)может быть представлено в виде (5) при соответствующем выборе  и , то формула (5) является общим интегралом этого уравнения. Следовательно, функция
  (6)
является общим интегралом уравнения (2).
Допустим, что решение рассматриваемой задачи существует; тогда оно дается формулой (6). Определим функции  и  таким образом, чтобы удовлетворялись начальные условия:
  (7)
 . (8)
Интегрируя второе равенство, получим:
 
где  и C – постоянные. Из равенства
 
 
находим:
  (9)
Таким образом, мы определили функции  и  через заданные функции  и , причем равенства (9) должны иметь место для любого значения аргумента. Подставляя в (6) найденные значения  и , получим:
 
или
 , (10)
Формулу (10), называемую формулой Даламбера, мы получили, предполагая существование решения поставленной задачи. Эта формула доказывает единственность решения. В самом деле, если бы существовало второе решение задачи (2) – (3), то оно представлялось бы формулой (10) и совпадало бы с первым решением.
Нетрудно проверить, что формула (10) удовлетворяет (в предположении двукратной дифференцируемости функции  и однократной дифференцируемости функции ) уравнению и начальным условиям. Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и существование решения поставленной задачи.
2.2.2.Физический интерпретация.
Функция , определяемая формулой (10), представляет собой процесс распространения начального отклонения и начальной скорости. Если фиксировать , то функция  дает профиль струны в момент , фиксируя , получим функцию 
; они разбивают полуплоскость (x,t>